25.3相似三角形教学目标【知识与能力】1.体会全等三角形与相似三角形之间的关系.2.了解相似三角形的概念,会用相似三角形的定义判定两个三角形相似.3.知道平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似.【过程与方法】1.类比全等三角形的概念建立相似三角形的概念,渗透数学中的类比思想和转化思想.2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过应用相似三角形的定义解决简单问题,培养学生的应用意识.【情感态度价值观】1.通过相似三角形概念的引入,提高学生联系实际的意识,提高数学应用能力.2.通过观察、思考、交流、归纳等数学活动,发展概括能力,提高数学思考的意识和能力.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.教学重难点【教学重点】1.相似三角形的有关概念.2.由平行判断三角形相似.【教学难点】探索由平行线判定三角形相似的方法.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：一、新课导入：导入一:【课件展示】 欣赏图片:[导入语] 图片中的三角形形状和大小相同吗?它们的对应角、对应边之间有什么关系?对应角相等、对应边也相等的两个三角形为全等三角形.类似地,我们来学习相似三角形的有关知识.导入二:复习提问1.什么是全等三角形?全等三角形的形状和大小有什么关系?
(能够完全重合的三角形是全等三角形,全等三角形的形状相同、大小相等)2.全等三角形有什么性质?(全等三角形的对应边相等、对应角相等)【师生活动】 学生独立回答,教师点评,导出新课的学习.[设计意图] 通过欣赏生活中的图片,让学生体会数学来源于生活,激发学生学习的兴趣,感受数学中的美.通过复习全等三角形的概念及性质,为本节课学习相似三角形做好铺垫.二、新知构建： [过渡语] 全等三角形是相似三角形的特例,让我们一起认识相似三角形吧.探究一 认识相似三角形思路一【学生活动】 自主学习教材69页,小组合作交流下列问题,并归纳总结.【问题】1.什么是相似三角形、相似比?2.如何用几何语言表示相似三角形的概念?3.如果相似比是1∶1,那么这两个三角形是什么关系?4.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k,那么ΔA'B'C'与ΔABC的相似比是多少?5.类比全等三角形的性质,你能得到相似三角形的性质吗?怎样用几何语言表示相似三角形的性质?【师生活动】 学生合作交流后展示讨论的结果,教师点评并补充,课件展示相似三角形的概念及性质.【课件展示】1.定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.几何表示:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=k,即ΔABC与ΔA'B'C'相似.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k.2.表示:ΔABC与ΔA'B'C'相似记作“ΔABC∽ΔA'B'C'”,读作“ΔABC相似于ΔA'B'C'”.注意:对应顶点写在对应的位置上.3.相似比为1∶1时,这两个三角形全等,所以全等三角形是相似三角形的特例.4.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k,那么ΔA'B'C'与ΔABC的相似比是1k.5.性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.几何语言:如上图所示,ΔA'B'C'∽ΔABC,则∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'.
思路二教师引导学生思考并回答:1.相似三角形的定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.2.根据相似三角形的定义,我们可以用几何语言表示为:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=k,即ΔABC与ΔA'B'C'相似.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k.3.相似三角形的表示:ΔABC与ΔA'B'C'相似记作“ΔABC∽ΔA'B'C'”,读作“ΔABC相似于ΔA'B'C'”.注意:对应顶点写在对应的位置上.4.思考:(1)如果两个三角形的相似比是1∶1,那么这两个三角形的关系是 . (2)ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k,那么ΔA'B'C'与ΔABC的相似比是 . 5.类比全等三角形的性质,可以得到相似三角形的性质是 . 6.相似三角形的性质用几何语言表示为 . 【课件展示】性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.几何语言:如上图所示,ΔA'B'C'∽ΔABC,则∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'.【师生活动】 教师边引导学生回答,边归纳总结、展示相似三角形的性质及几何语言表示,师生共同归纳.[设计意图] 通过自主学习或教师引导,复习全等三角形的定义和性质,迁移到相似三角形的定义和性质中,让学生体会类比思想在数学中的应用,帮助学生建立新旧知识之间的联系,体会事物之间由一般到特殊,由特殊到一般的联系.大家谈谈: [过渡语] 我们学习了相似三角形的概念,哪些特殊的三角形是相似三角形呢?全等三角形和相似三角形都是形状相同的三角形,它们之间是否有联系呢?我们一起共同交流一下下面的问题.【课件展示】1.两个直角三角形相似吗?(不一定相似)2.两个等腰三角形相似吗?两个等边三角形呢?(两个等腰三角形不一定相似,两个等边三角形相似)
3.相似三角形与全等三角形有什么区别和联系?(全等三角形都是相似比为1∶1的相似三角形,即全等三角形一定是相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形)【师生活动】 学生思考回答,教师点评.[设计意图] 通过大家谈谈,进一步掌握利用相似三角形的定义判断三角形是否相似,利用定义判断三角形相似时,对应角相等、对应边成比例,两个条件缺一不可,学生加深对概念的理解,体会全等三角形和相似三角形之间的区别和联系.例题讲解【课件展示】 (教材69页例)如图所示,ΔAEF∽ΔABC.(1)若AE=3,AB=5,EF=2.4,求BC的长.(2)求证EF∥BC.【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书过程,教师点评并规范书写过程.(板书)解:(1)∵ΔAEF∽ΔABC,∴AEAB=EFBC.又∵AE=3,AB=5,EF=2.4,∴BC=AB·EFAE=5×2.43=4.(2)∵ΔAEF∽ΔABC,∴∠AEF=∠B.∴EF∥BC.[设计意图] 通过例题掌握“相似三角形的对应边成比例、对应角相等”的应用,归纳出由相似三角形可以求线段长、证明角相等等结论,培养学生独立思考解决问题的能力,提高学生的应用意识,同时通过规范学生的书写格式,培养学生严谨的学习态度.探究二 由平行线证明三角形相似 [过渡语] 我们知道平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.那么截得的三角形与原三角形是否相似呢?【课件展示】 如图所示,EF∥BC,与AB,AC(或它们的延长线)相交于点E,F.求证ΔAEF∽ΔABC.
教师引导回答问题:(1)要证明三角形相似,需要哪些条件?∠BAC=∠EAF,∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,AEAB=AFAC=EFBC(2)你能证明这些角对应相等吗?(由两直线平行,同位角相等、内错角相等及对顶角相等可得)(3)如何证明AEAB=AFAC=EFBC?(由平行线分线段成比例的基本事实易得)(4)你能写出ΔAEF∽ΔABC的证明过程吗?(5)用同样的方法能证明图(2)(3)两种情况吗?(6)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论.【师生活动】 学生在教师问题的引导下,思考后小组交流,小组代表板书过程,教师对学生的板书点评,规范书写过程,师生共同归纳结论,并用几何语言表示这一结论.(板书)证明:如图(1)所示,在ΔAEF和ΔABC中,∵EF∥BC,∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,且AEAB=AFAC=EFBC.又∵∠A=∠A,∴ΔAEF∽ΔABC.同理可证其他两种情况.【课件展示】 平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似.【教师活动】 教师总结归纳由平行线证明三角形相似的“A”型和“X”型两个基本图形.[设计意图] 通过教师设计的小问题,层层深入,达到分析问题的目的,学生易于理解和掌握,提高学生分析问题的能力,同时培养学生归纳总结能力,掌握由平行线证明三角形相似的方法.做一做
【课件展示】 如图所示,在ΔABC中,E,F分别为AB,AC的中点.求证ΔABC∽ΔAEF.【师生活动】 学生独立完成证明过程,小组内交流答案,教师对学生的展示进行点评,规范学生的书写过程,强调由平行线直接证明三角形相似.[设计意图] 通过学生独立完成三角形相似的证明,让学生进一步理解由平行线证明三角形相似的方法,培养学生的应用意识,提高解题能力.[知识拓展] 1.相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比是1∶1的两个相似三角形是全等三角形.2.书写两个三角形相似时,要注意对应点的位置要一致,即若ΔABC∽ΔDEF,则说明A的对应点是D,B的对应点是E,C的对应点是F.3.相似三角形的传递性:如果ΔABC∽ΔA'B'C',ΔA'B'C'∽ΔA″B″C″,那么ΔABC∽ΔA″B″C″.4.符合由平行线证明三角形相似的图形有两个,我们称为“A”型和“X”型,如图所示,若DE∥BC,则ΔADE∽ΔABC.三、课堂小结：1.相似三角形的概念、表示.2.相似三角形与全等三角形的区别和联系.3.相似三角形定义的应用.4.由平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型.
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