24.4一元二次方程的应用（1）教学目标【知识与能力】1.会根据实际问题中面积的等量关系,列出一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.【过程与方法】1.通过解决有关面积的实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,经历将实际问题抽象为代数问题的过程,进一步体会数学中的建模思想.2.培养学生的应用数学意识,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过根据实际问题列方程,体会数学与生活息息相关.【情感态度价值观】1.通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣.2.进一步培养学生合作的意识和主动探索事物内在联系及变化规律的习惯.教学重难点【教学重点】列一元二次方程解决与面积有关的应用题.【教学难点】在实际问题中找到等量关系,根据实际意义检验结果是否符合题意.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：[导入语] 同一元一次方程,二元一次方程(组)等一样,一元二次方程和实际问题也有紧密的联系,本节课就来讨论如何利用一元二次方程来解决实际问题.导入一:【复习回顾】1.三角形、正方形、长方形、平行四边形的面积公式是什么呢?2.解一元二次方程的方法有哪些?3.列方程解应用题的一般步骤是什么?【师生活动】 教师提问,学生回答.导入二:你能求解本章前言中的问题吗?
【师生活动】 学生独立完成板书展示,并归纳总结解题步骤,教师强调指出要结合题目的已知条件正确决定一元二次方程两个根的取舍问题.[设计意图] 通过复习列方程解应用题的步骤及有关面积公式,为本节课的探究活动做好铺垫,很自然地走进今天的学习内容;创设实际问题的导入,让学生感受建模思想在与面积有关的实际问题中的应用,激发学生学习兴趣.二、新知构建：共同探究 列一元二次方程解应用题【课件展示】 (教材47页例2)已知一本数学书的长为26cm,宽为18.5cm,厚为1cm.一张长方形包书纸如图所示,它的面积为1260cm2,虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长.思路一【课件展示】思考下列问题,小组交流:(1)本题中有哪些数量关系?(包书纸的长×宽=1260)(2)包装纸的长和宽如何用正方形的边长x表示?(包装纸的长=书宽+厚1cm+2x,包装纸的宽=书长+2x)(3)如何利用题目中等量关系列出方程?(4)解方程并得出正确结论.【师生活动】 学生独立思考后,小组针对问题进行交流讨论,共同探究问题并做出解答,教师给学生充足的思考时间,对学习有困难的学生加以指导,对学生的解答教师点评并规范解题步骤.【课件展示】解:设正方形的边长为xcm,根据题意,得(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260.
整理,得x2+32x-68=0.解这个方程,得x1=2,x2=-34(不合题意,舍去).答:正方形的边长是2cm.[设计意图] 学生针对教师提出的问题,在小组内开展讨论交流,使学生思路清晰,目的明确,充分体现建模思想解决实际问题的应用,培养学生分析问题、解决问题的能力.思路二教师引导分析,学生思考,并回答下列问题:题中的等量关系式是 ,设正方形的边长为xcm,则长方形包装纸的长为 ,宽为 ,则可列方程为 . 【师生活动】 学生在教师的引导下思考回答,独立完成解答过程,教师帮助有困难的学生,并展示答案,同时规范做题格式.[设计意图] 师生共同找题中的已知量与未知量之间的等量关系,列出方程解决问题,提高学生的读题、审题能力,培养学生深入思考、分析问题的能力,又培养学生合作解决问题的意识.做一做已知一个直角三角形两直角边的和是12,斜边的长是10,求这个直角三角形两直角边的长.【思考】1.题目中有几个未知量?未知量之间有什么数量关系?(两个未知量,两直角边的和是12)2.设一个未知量为x,则另一个未知量怎样用未知数表示?(设一条直角边长为x,则另一条直角边长为12-x)3.直角三角形中直角边和斜边之间的数量关系是什么?(勾股定理)4.你能根据等量关系列出方程吗?5.解方程,写出正确答案.【师生活动】 学生独立思考,尝试独立完成解答过程,小组内交流答案,教师对学生的解答作出点评.[设计意图] 通过设置问题降低学生独立解决问题的难度,进一步加强学生一元二次方程解决实际问题的能力,增强学生的应用意识和独立思考的能力.三、课堂小结：1.一元二次方程解决实际问题的关键:分析题意找等量关系.2.列方程解应用题的一般步骤:审题、找等量关系、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案.
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