翼教版初中数学九年级上册教案27.1 反比例函数

27.1反比例函数教学目标【知识与能力】1.结合具体问题情境体会反比例函数的意义.2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.3.能根据已知条件或实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.【过程与方法】1.让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.2.用类比的思想方法,从实际问题中抽象出反比例函数的模型,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.【情感态度价值观】1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.2.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.教学重难点【教学重点】1.理解并掌握反比例函数的定义,掌握反比例函数的一般形式.2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.【教学难点】经历探索和表示反比例函数关系的过程,体验用反比例函数表示变量之间的关系.课前准备多媒体课件教学过程一、新课引入：导入一:【课件展示】 如图所示,当电路中的电压一定时.(1)怎样用电阻R表示电流I?I=UR (2)电流I是怎样随电阻R的变化而变化的?(电流I随着R的增大而减小)(3)变量I是R的函数吗?为什么?(是,电流I随着R的变化而变化,给一个R的值,都有一个I和它对应)[设计意图] 由与生活息息相关的跨学科知识和已有的知识出发,将学生引导到一个新的函数模型的研究中,让学生感受到生活中处处有数学,激发学生对学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象出反比例函数的概念做铺垫.导入二:【课件展示】 同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以他们的平均速度有快有慢.在速度v,时间t与路程s之间满足:(1)如果速度v一定时,那么路程s与时间t之间是什么函数关系?(s=vt,是正比例函数关系)(2)如果时间t一定时,那么路程s与速度v之间又是什么函数关系?(s=vt,是正比例函数关系)(3)如果路程s一定时,那么速度v和时间t之间的等量关系是什么?是函数关系吗?v=st,是函数关系【思考】 这个函数是不是我们前边学过的函数?[导入语] 问题(1)(2)中的函数是我们学过的一次函数,(3)中的函数不是前边学过的函数,这类函数就是本章要研究的反比例函数.[设计意图] 通过生活中的问题情景,引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系,唤起学生对本课时的学习欲望,使学生带着问题进入本节课的学习.导入三:复习提问:(1)什么是函数?什么是一次函数?(2)学习一次函数的基本思路是什么?【课件展示】 以往研究函数的基本思路:[导入语] 函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数时,在理解定义的基础上,研究它的图像和性质,并用之解决实际问题, 本章将用类似的方法研究一种新的函数——反比例函数.[设计意图] 通过回忆一次函数的概念及研究思路,引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数,在学习中学生易从已有的知识体系中自然地构建出新知识,为学习本章内容做好铺垫.二、新知构建：  [过渡语] 若将成正比例的两个量视为变量,则这两个量之间具有正比例函数关系.那么,当将两个成反比例的量视为变量时,它们之间又具有怎样的函数关系呢?这就是本节课要学习的内容.一、反比例函数的概念思路一【课件展示】1.要制作容积为15700cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为Scm2,高为hcm,则Sh=    ,用h表示S的函数表达式为    . 2.自行车运动员在长为10000m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间为ts,行驶的平均速度为vm/s,则vt=    ,用t表示v的函数表达式为    . 3.y与x的乘积为-2,用x表示y的函数表达式为    . 【学生活动】 独立完成填空,小组内交流答案.1.15700 S=15700h2.10000 v=10000t3.y=-2x教师引导学生思考:(1)每个事例中的两个变量是什么?(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?(3)上述三对量之间每对量都成反比例吗?(4)请再举出几个具有这种特征的例子.【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,确定三个问题中的每对量都成反比例,并归纳函数表达式的共同特征,教师对学生的回答进行点评归纳.[设计意图] 通过问题的形式,引导学生发现这些变量之间的关系都成反比例,并且这种函数的解析式不同于以往的一次函数,为进一步研究反比例函数做知识准备,同时调动学生学习的欲望,实现了让学生感知反比例函数的目的.  [过渡语] 刚才同学们总结的函数关系式,不是我们学过的函数类型,接下来让我们一起研究这类函数的特征吧!观察前面的三个函数关系式,思考:(1)这三个函数是一次函数吗?(2)这些函数表达式具有怎样的共同特征?(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?(4)你能给这类函数下一个定义吗?【师生活动】 学生思考后,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳结论.教师引导学生从两个方面思考:一是与一次函数的解析式对比;二是看给出的三个函数关系式是整式还是分式. 总结:【课件展示】 一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=kx(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.在反比例函数y=kx中,自变量x的取值范围是不等于0的实数.【思考】(1)在反比例函数y=kx中,k,x,y可以取任意实数吗?(2)反比例函数y=kx中,自变量x的指数是1吗?为什么?(3)反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗?【师生活动】 学生独立思考后,小组交流,学生回答时教师及时点评和引导,师生共同归纳反比例函数概念的有关特点:(1)反比例函数中,比例系数k≠0,自变量x≠0,函数值y≠0.(2)反比例函数y=kx右边是分式形式,x的指数是-1.(3)反比例函数的三种表示形式:y=kx,xy=k,y=kx-1.[设计意图] 通过学生观察思考、小组交流讨论,依据老师设计的问题,类比已学的一次函数,归纳出反比例函数的特征,让学生经历概念的形成过程,达到真正理解反比例函数定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力.思路二【课件展示】出示下列几个问题:1.要制作容积为15700cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为Scm2,高为hcm,则Sh=    ,用h表示S的函数表达式为    . 2.自行车运动员在长为10000m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间为ts,行驶的平均速度为vm/s,则vt=    ,用t表示v的函数表达式为    . 3.y与x的乘积为-2,用x表示y的函数表达式为    . 4.已知北京市的总面积为1.68×104km2,人均占有面积S(单位:km2/人)与全市总人口n(单位:人)的函数表达式为    . 【学生活动】 独立完成后,小组内交流答案,教师对学生答案进行点评.1.15700 S=15700h2.10000 v=10000t3.y=-2x4.S=1.68×104n教师引导学生思考:(1)每个事例中的中两个变量是什么?(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化? (3)上述几对量之间每对量都成反比例吗?(4)你能不能再举出几个具有这种特征的例子?【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,确定几个问题中的每对量都成反比例,并归纳函数表达式的共同特征,教师对学生的回答进行点评归纳.[设计意图] 问题情境既有教材“做一做”栏目的问题,又有新增设的问题,这些事例要求学生从实际问题中找到两个变量之间的函数表达式,为形成反比例函数的概念、辨析反比例函数做好准备.  [过渡语] 刚才同学们列出了相关的4个函数表达式,接下来我们开始研究这些函数表达式的特征吧!1.反比例函数的一般形式.【课件展示】思考下列问题:(1)这四个函数都是一次函数吗?(2)这些函数表达式具有怎样的共同特征?(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?(4)你能给这类函数下一个定义吗?问题提示:通常情况下,我们用y表示函数,用k表示常量,用x表示自变量.对于这四个特殊的函数,学生可以初步总结为y=kx.总结:【课件展示】 一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=kx(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.2.理解反比例函数的概念.问题1反比例函数的一般式y=kx的右边是什么式子?(提示:分式,其他的函数都是单项式或多项式)问题2反比例函数y=kx的比例系数k、自变量x取值有什么要求?(提示:都是不能为0的实数)问题3反比例函数解析式还可以写成其他形式吗?(提示:两个变量的乘积为定值;自变量x的指数为-1)【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流,教师对学生的回答作出点评和归纳.[设计意图] 通过回答教师提出的问题,让学生理解反比例函数的意义,能用数学语言表达反比例函数的表达式,并能理解自变量的取值范围,掌握判断反比例函数的方法.通过学生的观察、思考、合作、交流,反比例函数概念的模型建立也就会水到渠成.二、例题讲解  [过渡语] 我们通过实例归纳总结了反比例函数的概念,试试能不能解决下列问题.【课件展示】 下列函数:①y=5x;②y=0.4x;③y=3x;④y=12x;⑤xy=2;⑥y=5x+2. 其中是反比例函数的是          (填序号),它们的比例系数k分别是        . 〔解析〕 按照反比例函数的概念判断,易得①②④⑤是反比例函数,其中k分别为5,0.4,12,2.〔答案〕 ①②④⑤ 5,0.4,12,2 若y=(a-2)x|a|-3是反比例函数,则a的值为    . 【师生活动】 学生独立思考后,小组交流答案,教师对学生的答案进行点评,并强调易错点.〔解析〕 根据反比例函数概念可得,反比例函数满足两个条件:①常数k≠0;②自变量x的指数为-1.由题意可得|a|-3=-1,且a-2≠0,解得a=-2.故填-2.[设计意图] 通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点,特别是忽略k≠0这一易错点. (教材129页例1)写出下列问题中y与x之间的函数关系式,指出其中的正比例函数和反比例函数,并写出它们的比例系数k.(1)y与x互为相反数.(2)y与x互为负倒数.(3)y与2x的积等于a(a为常数,且a≠0).【师生活动】 学生独立完成后小组内交流答案,教师点评学生的答案,并强调易错点.解:(1)因为y+x=0,即y=-x,所以y是x的正比例函数,比例系数k=-1.(2)因为xy=-1,即y=-1x,所以y是x的反比例函数,比例系数k=-1.(3)因为2xy=a,即y=a2x,所以y是x的反比例函数,比例系数k=12a.[设计意图] 通过书写函数关系式,并认识比例系数k,对正比例函数和反比例函数本质属性进行比较,加深对反比例函数的理解. (教材129页例2)已知y是x的反比例函数,当x=4时,y=6.(1)写出这个反比例函数的表达式.(2)当x=-2时,求y的值.〔解析〕 类比一次函数求解析式的方法——待定系数法,设出函数解析式,将一对x,y的值代入,求出待定系数k.【师生活动】 师生共同复习待定系数法求函数解析式,然后学生独立完成,并板书过程,学生之间互相纠正错误答案,教师点评,并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤.解:(1)设y=kx.把x=4,y=6代入y=kx,得k=24.所以这个反比例函数的表达式为y=24x.(2)当x=-2时,y=24-2=-12. [设计意图] 通过复习待定系数法,用待定系数法求反比例函数关系式,并让学生体会在反比例函数关系式中,代入一对x,y的值即可求出函数关系式.同时让学生体会建模思想在数学中的应用.[知识拓展] 1.反比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)的左边是函数,右边为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如y=1x,y=32x等都是反比例函数,但y=2x+1中,y就不是x的反比例函数.2.反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成xy=k(k≠0),y=kx-1(k≠0)的形式.三、课堂小结：1.反比例函数的概念:一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=kx(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.2.反比例函数满足的条件:(1)自变量的指数是-1;(2)比例系数不为0.3.反比例函数的三种表示形式:y=kx;xy=k;y=kx-1.4.反比例函数自变量的取值范围:x≠0.