28.3圆心角和圆周角(2)教学目标【知识与能力】1.了解圆周角的定义,会在具体情景中辨别圆周角.2.掌握圆周角定理及推论,并能灵活运用这些知识进行简单的计算和证明.【过程与方法】1.在探索圆周角与圆心角的关系的过程中,学会运用分类讨论、转化的数学思想解决问题.2.学习中经历操作、观察、猜想、分析、交流、归纳等数学活动,体验圆周角定理的探索过程,培养合情推理能力,发展逻辑思维能力、推理论证能力和用几何语言表达的能力.【情感态度价值观】1.引导学生对图形的观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验,建立学习的自信心.2.通过营造民主、和谐的课堂氛围,让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验,同时培养学生的合作意识.教学重难点【教学重点】 圆周角的概念以及圆周角定理和推论.【教学难点】圆周角定理的证明中采用的分类思想及由一般到特殊的数学思想方法.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件展示】如图(1)所示的是一圆柱形海洋馆,在这个海洋馆里,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗(AB)
观看窗内的海洋动物.图(2)为海洋馆的横截面示意图.1.如图(2)所示,同学甲站在圆心O的位置,同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,则他的视角(∠ACB)是圆心角吗?他与甲的视角(∠AOB)有什么关系?2.如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视角(∠ADB和∠AEB)的主要特征是什么?他们和同学甲的视角(∠AOB)有什么关系?教师演示课件或图片:展示一个圆柱形的海洋馆,并出示海洋馆的横截面示意图,提出问题,教师结合示意图,引出圆周角的定义.并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题,导出新课.导入二:复习提问:1.什么是圆心角?2.圆心角与其所对的弦、弧的关系是什么?3.导入一图中的∠DAC与∠DBC是不是圆心角?它们有什么特点?【师生活动】 学生回答,教师由此导出课题. [过渡语] 这些顶点在圆周,两边和圆相交的角就是我们这节课要学习的圆周角,让我们一起探究这些角与圆心角之间的关系吧![设计意图] 通过从具体生活情境出发,使学生意识到数学与生活密不可分,激发学生学习兴趣,在实际问题中画出图形,建立数学模型,通过观察、归纳题目中角的特征,很自然地导出圆周角的概念.二、新知构建：一、圆周角的概念 [过渡语] 导入一图中∠DAC与∠DBC的顶点在圆周上,那么顶点在圆周的角叫圆周角吗?【课件展示】 圆周角:顶点在圆上,两边都与圆相交的角叫做圆周角.观察下列图形中的角都是圆周角吗?(图(1)中∠APB是圆周角,图(2)和图(3)中∠AQB,∠ARB不是圆周角,图(4)中的∠ASB是圆周角,而∠ASC不是圆周角)【师生活动】 学生抢答,教师点评,强调圆周角必须满足两个条件:一是顶点在圆上,二是两边都与圆相交,二者缺一不可.[设计意图] 根据角的特点归纳圆周角的概念,通过抢答判断图中的角是不是圆周角,活跃课堂气氛,加深对圆周角概念的理解和掌握.二、圆周角定理动手操作:
1.画☉O,在☉O上任意画弧AB,分别画出弧AB所对的圆心角和圆周角.2.你能画出几个弧AB所对的圆心角和圆周角?(一个圆心角,无数个圆周角)3.分别测量所画圆心角和圆周角的度数,它们之间有什么关系?(同弧所对的圆周角是圆心角的一半)【师生活动】 学生独立操作,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,师生共同作出猜想.猜想:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.你能证明你的猜想吗?思路一教师引导完成.如图所示,∠AOB和∠APB分别是AB所对的圆心角和圆周角.【思考】1.当点P在圆上按顺时针方向移动时(点P与点A,B不重合),按照圆心O和圆周角的位置关系,可以分为几种不同的情形?说出你的判断并画出相应的图形.(三种:圆心在角的一边上、角内、角外)2.当圆心O落在∠APB的一条边上时,∠AOB与∠APB具有怎样的大小关系?说明理由.【师生活动】 学生画出图形,独立完成证明过程,并展示成果,教师点评,课件展示证明过程,并归纳结论.3.当圆心O在∠APB的内部时,上述2中的结论还成立吗?试说明理由.教师引导学生思考:当圆心在∠APB的内部时,能否通过作辅助线(作直径),转化为第一种情况进行证明?学生独立思考后,小组合作交流,共同完成证明过程,教师对学生展示点评,课件展示证明过程.4.当圆心O在∠APB的外部时,上述2中的结论还成立吗?试说明理由.【师生活动】 学生独立完成,小组内交流答案,教师对学生的展示点评,归纳结论.5.归纳你用到的数学方法和得出的结论.【课件展示】
证明:(1)当圆心O在∠APB的一条边上时,如图(1)所示.∵OP=OA,∴∠OPA=∠OAP.又∵∠AOB=∠OPA+∠OAP,∴∠AOB=2∠APB,即∠APB=12∠AOB.(2)对于圆心O在∠APB内部的情形,如图(2)所示,连接PO并延长交☉O于点D,∵PD过圆心O,∴∠APD=12∠AOD,∠BPD=12∠BOD.∴∠APD+∠BPD=12∠AOD+12∠BOD.∴∠APB=12∠AOB.(3)如图所示,对于圆心O在圆周角∠APB外部的情形,连接PO并延长交☉O于点D,∵PD过圆心O,∴∠APD=12∠AOD,∠BPD=12∠BOD.∴∠BPD-∠APD=12∠BOD-12∠AOD.∴∠APB=12∠AOB.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
数学思想方法:分类思想、化归思想、由特殊到一般的数学方法.思路二自主学习教材第156页.【思考】1.在圆上任取一个圆周角,观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况?(三种:圆心在角的一边上、角内、角外)2.根据三种位置关系,如何证明你的猜想?(证明(1)后,用化归思想,把(2)(3)转化成(1)的证明)3.在证明猜想的过程中用到了哪些数学思想方法?(分类思想、化归思想、由特殊到一般的方法)【师生活动】 学生小组合作交流,共同探究,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生板书过程,教师点评.【课件展示】(证明过程同思路一)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.数学思想方法:分类思想、化归思想、由特殊到一般的数学方法.[设计意图] 以学生活动为核心,经历观察、猜想、交流、证明、归纳的过程,让学生通过合作探索,学会运用分类讨论的数学思想研究问题,培养学生思维的深刻性.同时让学生学会由特殊到一般的数学方法,启发学生创造性的解决问题.三、例题讲解【课件展示】 (教材157页例2)如图所示,点A,B,C均在☉O上,∠OAB=46°.求∠ACB的度数.思路一【师生活动】 学生独立思考,小组内合作交流,学生独立完成解答过程,教师对学生的展示点评,规范解题格式.【课件展示】解:如图所示,连接OB.∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.∵∠OAB=46°,∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×46°=88°.∴∠ACB=12∠AOB=44°.思路二教师引导分析:1.∠ACB是圆中的什么角?(圆周角)2.根据圆周角定理,要求圆周角∠ACB可以通过求哪个角来计算?(圆心角∠AOB)3.△AOB是什么三角形?(等腰三角形)4.在等腰三角形中,已知底角∠OAB,怎样求顶角∠AOB的大小?(∠AOB=180°-2∠OAB)【师生活动】 学生在教师的引导下思考回答,分析解题思路,学生独立完成解答,教师对学生展示点评,规范解题格式.(课件展示解答过程同思路一)四、圆周角定理的推论【课件展示】1.直径所对的圆周角是多少度?请说明理由.(直径所对的圆心角是180°,根据圆周角定理可得,直径所对的圆周角是所对的圆心角180°的一半,即直径所对的圆周角是90°)2.90°的圆周角所对的弦是直径吗?请说明理由.(根据圆周角定理可得,90°的圆周角所对的弧所对的圆心角是180°,即90°的圆周角所对的弦是直径)【师生活动】 学生独立思考后小组交流结果,并在小组内解决自己未解决的问题,教师及时帮助有困难的学生,学生展示后,教师点评,师生共同归纳结论.【课件展示】直径所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径.[设计意图] 通过问题形式探究圆周角定理的推论,感受类比思想,体会知识的内在联系,同时让学生体会运用定理解决特殊性问题,提高学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展] 1.定理中的圆周角与圆心角是通过它们所对的同一条弧联系在一起的,故不能把“同一条弧”这一前提条件省略.2.计算圆周角时,常转化为计算同弧所对的圆心角解决.3.根据直径所对的圆周角是直角,构造直角三角形,利用直角三角形的性质解决有关问题.三、课堂小结：1.圆周角的概念.2.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.3.推论:直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.4.本节课数学思想方法:分类思想、化归思想、由特殊到一般的数学方法.
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