北师大版高中数学必修第二册课件6.6.3 球的表面积和体积

第六章6.3球的表面积和体积 课标要求1.能运用球的表面积和体积公式灵活解决实际问题.2.能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”等几何问题. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点一球的基本性质1.球的截面球面被经过球心的平面截得的圆称为球的;被不经过球心的平面截得的圆称为球的.2.球的切线(1)当直线与球有唯一交点时,称直线与球,这一交点称为直线与球的.(2)过球外一点的所有切线的切线长都,这些切点的集合是一个圆,该圆面及所有切线围成了一个圆锥.大圆小圆相切切点相等 名师点睛1.球的直径等于球的内接长方体的对角线长,即2R=(其中R为球的半径,a,b,c分别为长方体的长、宽、高).2.球面被两个平行截面所截得的圆的圆心的连线垂直于这两个截面,且经过球心. 过关自诊判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)过球外一点有且只有一条切线与圆相切.()(2)球面上的任意三点确定一个平面.()(3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.()×√√ 知识点二球的表面积与体积公式条件球的半径为R表面积公式S球面=4πR2体积公式V球=πR3名师点睛1.球的表面是曲面,不能展开为平面图形(即球没有表面展开图),也不能用计算平面图形面积的方法去计算其准确面积;2.用球的表面积公式求得的球的表面积是准确值,而不是近似值,球的体积和表面积公式以后可以证明. 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)球的表面积等于它的大圆面积的2倍.()(2)若球的直径为1,则球的体积为.()(3)两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4.()(4)若球的半径变为原来的2倍,则球的表面积变为原来的2倍.()(5)球的体积是关于球半径的一个函数.()2.若球的体积与其表面积数值相等,球的半径为定值吗?×√××√ 3.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,如何求球的表面积? 重难探究•能力素养全提升 探究点一球的表面积与体积【例1】(1)已知球的表面积为64π,求它的体积;(2)已知球的体积为π,求它的表面积.解(1)设球的半径为R,则4πR2=64π,解得R=4,解得R=5,所以球的表面积S=4πR2=4π×52=100π. 规律方法1.球的基本量是球的半径,由半径可以求出球的表面积和体积,反过来,由表面积和体积也可以求出球的半径,进而解决其他问题.2.球的表面积之比是半径比的平方,球的体积之比是半径比的立方. 变式训练1若球的半径由R增加为2R,则这个球的体积变为原来的倍,表面积变为原来的倍.84 探究点二球的截面【例2】在半径为R的球面上有A,B,C三点,且AB=BC=CA=3,球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半,求球的表面积.规律方法1.有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.2.解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2. 变式训练2如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为()A 解析利用球的截面性质结合直角三角形求解.设球的半径为Rcm,则R2=OM2+MB2=(R-2)2+42, 探究点三与球有关的切、接问题【例3】一个高为16的圆锥外接一个体积为972π的球,在圆锥里又有一个内切球.求:(1)圆锥的侧面积;(2)圆锥内切球的体积. 解(1)如图所示,作出轴截面,则等腰三角形SAB外接圆O,而圆O1内切于△SAB.设圆O的半径为R,则有πR3=972π,∴R3=729,R=9,∴SE=2R=18.∵SD=16,∴ED=2.∵SE是直径,∴SA⊥AE,∴SA2=SD×SE=16×18=288,AD2=SD×DE=16×2=32, (2)设内切球的半径为r,即圆O1的半径为r. 规律方法1.处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总在特殊位置,比如中心、对角线的中点等.2.解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算. 变式训练3若一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上,则正方体的表面积为()A解析∵球的半径为1,且正方体内接于球,∴球的直径即为正方体的对角线,即正方体的对角线长为2. 本节要点归纳1.知识清单:(1)球的截面及性质;(2)与球有关的切、接问题;(3)球的表面积与体积.2.方法归纳:转化与化归,数形结合.3.常见误区:(1)不能定量地分析球的半径变化引起的表面积和体积的变化程度;(2)与球有关的切、接问题中关键要素及其数量关系容易把握不清. 学以致用•随堂检测全达标 1.一个圆柱的底面直径与高相等,且该圆柱的表面积与球O表面积相等,则球O的半径与圆柱底面半径之比为()A解析设圆柱的底面半径为r,则其高为2r,所以圆柱的表面积S1=2πr×2r+πr2+πr2=6πr2.设球O的半径为R,则其表面积S2=4πR2. 2.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为()B解析如图,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点, 3.正方体的内切球与其外接球的体积之比为()C 4.如图边长为2的正方形ABCD中,以B为圆心的圆与AB,BC分别交于点E,F,若tan∠CDF=,则阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体的体积等于.6π 解析在Rt△DCF中,DC=2,CF=DCtan∠CDF=2×=1,所以BF=BC-CF=2-1=1,正方形ABCD绕直线BC旋转一周形成圆柱,圆柱的底面半径R=AB=2,高h1=BC=2,其体积V1=πR2h1=π×22×2=8π;直角三角形CDF绕直线BC旋转一周形成与圆柱同底的圆锥,所以圆锥的底面半径R1=2, 所以阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉上述的半球与圆锥, 本课结束