北师大版高中数学必修第二册课件6.6.2 柱、锥、台的体积

第六章6.2柱、锥、台的体积 课标要求1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式及其三种几何体体积计算公式的内在联系.2.会利用柱体、锥体、台体的体积计算公式求有关几何体的体积,并掌握求几何体体积的基本技巧. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点柱体、锥体、台体的体积公式名称体积(V)公式备注柱体棱柱V=h为棱柱的高S为棱柱的底面面积圆柱V=πr2h=Shr为圆柱的底面半径h为圆柱的高S为圆柱的底面面积锥体棱锥三棱锥的每个面都可以作为底面V=S为棱锥的底面面积h为棱锥的高圆锥V=πr2h=Shr为圆锥的底面半径h为圆锥的高S为圆锥的底面面积Sh 名称体积(V)公式备注台体棱台V=S上,S下分别为棱台上、下底面的面积h为棱台的高圆台V=πh(r2+rr'+r'2)=(S上+S下+)hr,r'分别为圆台上、下底面的半径h为圆台的高,S上,S下分别为圆台上、下底面的面积 名师点睛在台体的体积公式中,如果设S上=S下=S,就得到柱体的体积公式V柱体=Sh;如果设S上=0,S下=S,就得到锥体的体积公式V锥体=Sh.因此,柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为:由图可见,柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例. 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)从同一顶点出发的长方体的三条棱长分别为a,b,c,则V长方体=abc.()(2)同底面积等高的柱体的体积是锥体体积的3倍.()(3)圆台上、下底面半径分别为2,6,母线长为6,则圆台的体积为48π.()(4)若圆锥的高扩大为原来的2倍,底面半径缩短为原来的,则圆锥的体积变为原来的.()√√×√ 2.把一张长为6、宽为4的矩形纸片卷成一个圆柱形,使其对边恰好重合,所围圆柱的底面半径是多少?所得圆柱体积是多少?3.求三棱锥的体积时有何技巧?提示因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的三棱锥. 4.台体可以还原为锥体,那么台体的体积可以怎样求?提示台体是由锥体用平行于底面的平面截得的空间几何体,所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差.求解过程如下:如图所示,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S',S,高是h,设截得台体时去掉的锥体的高是x,则截得这个台体的锥体的高是h+x, 重难探究•能力素养全提升 探究点一柱体体积的计算【例1】已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9cm,宽为6cm的矩形,求此正三棱柱的体积.解设正三棱柱的高为hcm,底面等边三角形的边长为acm.①若正三棱柱的底面周长为9cm,则高h=6cm,3a=9cm,∴a=3cm, ②若正三棱柱的底面周长为6cm,则高h=9cm,3a=6cm,∴a=2cm,规律方法柱体体积的计算方法(1)公式法.求出底面积和高,运用公式求出体积.(2)记住特殊的柱体的体积公式.①正方体的体积=棱长的立方;②长方体的体积=长×宽×高. 变式训练1已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4,则该圆柱的体积为()A.2πB.4πC.8πD.16πD解析V圆柱=πr2h=π×(4÷2)2×4=16π. 探究点二锥体体积的计算【例2】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.(1)求V1,V2以及V1∶V2;(2)求点A到平面A1BD的距离d. 解(1)截面将正方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD, (2)三棱锥A1-ABD与三棱锥A-A1BD是同一个几何体. 规律方法锥体体积的计算方法(1)锥体的体积公式V=Sh既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱锥,也可以不是正棱锥.(2)三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,使得转换后,该三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求,这一方法叫作等积法.(3)有些柱体还可以利用分割法或补形法进行求解.无论分割法还是补形法都是要将所给的几何体分割成或补成易求解的几何体,体现了间接思维和化归的数学思想. 变式探究若本例中的正方体改为长方体,则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化?试证明你的结论.解不会.证明如下,不妨设在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面将长方体分为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,底面△ABD是两直角边分别为a,b的直角三角形, 探究点三台体体积的计算【例3】圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,那么该圆台的表面积和体积分别是多少?(结果中保留π)解如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180°,所以c=π·SA=2π×10,所以SA=20,同理可得SB=40,所以AB=SB-SA=20,所以S表面积=S侧+S上+S下=π(10+20)×20+π×102+π×202=1100π(cm2).故圆台的表面积为1100πcm2.设圆台的高为h,上底面半径r1=10cm,下底面半径r2=20cm, 规律方法求台体体积的一般方法是求出台体的上、下底面的面积和高,然后套用公式V=计算求解,要充分利用截面、轴截面、展开图等求出所需要的量,再代入公式计算. 变式训练2体积为52的圆台,一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A.54B.54πC.58D.58πA 本节要点归纳1.知识清单:(1)柱体、锥体、台体的体积公式及其内在联系;(2)利用公式求几何体体积.2.方法归纳:等体积法、割补法.3.常见误区:(1)由于锥体与柱体体积计算公式混淆而出现错误;(2)易忽视体积公式的使用条件. 学以致用•随堂检测全达标 1.某圆锥的母线长为5cm,底面半径长为3cm,则该圆锥的体积为()A.12πcm3B.15πcm3C.36πcm3D.45πcm3A 2.如图,在正方体中,S为平面A1B1C1D1上一点,则四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的()B解析由于四棱锥S-ABCD的高与正方体的棱长相等,底面是正方形,根据柱体和锥体的体积公式,得四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的,故选B. 3.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为()A.5πB.6πC.20πD.10πD解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π. 4.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则该棱台的体积是. 5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,若盆中积水深九寸时,则平地降雨量是寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)3解析由题意可知,天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸,因为积水深9寸, 本课结束