第六章2直观图
课标要求1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图.3.能根据直观图还原出原图形并能进行相关的长度、面积等计算.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点斜二测画法1.水平放置的平面图形直观图的画法建系不同直观图不同(1)在已知图形中建立平面直角坐标系xOy,画直观图时,它们分别对应x'轴和y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成于x'轴或y'轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.(4)连线并擦去辅助线x'轴和y'轴,便获得水平放置的直观图.45°平行不变
名师点睛(1)斜二测画法中,“斜”是指把直角坐标系xOy变为斜坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°(或135°);“二测”是指画直观图时,平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度减半.(2)斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点,并在直观图中画出.(3)斜二测画法的位置特征与度量特征简记为:横不变、纵折半,平行位置不改变.
2.多面体的直观图的画法(1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox,Oy;再取Oz轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°.(2)画直观图时,把Ox,Oy,Oz画成对应的O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45°(或135°),∠x'O'z'=.x'O'y'所确定的平面表示水平平面.(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中;平行于y轴的线段长度为原来的一半.(5)擦去辅助线,并将被遮线画成虚线.90°保持原长度不变
名师点睛(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下,长度和角度可适当选取.为了增强立体感,被挡住的部分通常用虚线表示.(2)斜二测画法保持了原图形的平行性、共线性,保持了平行线段的长度比.(3)坐标系的建立要充分利用几何体的对称性,坐标原点一般建在图形的对称中心处,使几何体的顶点尽可能多地落在坐标轴上.(4)要先画出底面的直观图,再画出其余各面.
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中,∠A=45°.()(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时,平行的线段在直观图中仍平行,且长度不变.()(3)在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.()(4)在斜二测画法中,各条线段的长度都发生了改变.()(5)在几何体的直观图中,原来平行的直线仍然平行.()(6)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段,原来垂直的仍垂直.()(7)正方形的直观图为平行四边形.()(8)梯形的直观图不是梯形.()××××√×√×
重难探究•能力素养全提升
探究点一画水平放置的平面图形的直观图【例1】如图,画出水平放置的等腰梯形的直观图.
画法(1)如图,以AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立平面直角坐标系,画对应的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.(2)以点O'为中点在x'轴上取A'B'=AB,在y'轴上取O'E'=OE,以E'为中点画C'D'∥x'轴,并使C'D'=CD.(3)连接B'C',D'A',擦去辅助线,所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
规律方法画水平放置的平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.(2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
变式探究把本例图形换成右图,试画出该图的直观图.
解(1)在已知的直角梯形ABCD中,以底边AB所在直线为x轴,垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.如图①.(2)画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上取O'B'=AB,在y'轴上取O'D'=AD,过D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC.如图②.(3)连接B'C',所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形ABCD的直观图.如图③.
探究点二画空间几何体的直观图【例2】画出底面边长为1.2cm的正方形、侧棱均相等且高为1.5cm的四棱锥的直观图.画法(1)画轴.画x'轴、y'轴、z'轴,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°,如图①所示.(2)画底面.以O'为中心在x'轴上截取线段EF,使EF=1.2cm,在y'轴上截取线段GH,使GH=0.6cm.分别过E,F作y'轴的平行线,过G,H作x'轴的平行线,则交点分别为A,B,C,D,即四边形ABCD为底面正方形的直观图.(3)画高.在z'轴上截取OP,使OP=1.5cm.(4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图②所示.
规律方法1.画空间几何体的直观图时,一般是先按照画平面图形直观图的方法与步骤,画出其底面的直观图,再在z轴上确定该几何体的顶点或另一个底面的直观图所需坐标系的原点,从而作出另一个底面的直观图,最后得到整个几何体的直观图.2.对于台体、柱体等有上底面的几何体,在作上底面的直观图时,可先作出高线,在上底面所在的平面内再建一个两轴分别与下底面中的坐标系中的两轴平行的坐标系,最后作出表示相应等量的线段并连接.
变式训练1用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2,3,高为2.画法(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3,在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和点Q作x轴的平行线,则交点分别为A,B,C,D,即四边形ABCD为四棱台的下底面.(3)画上底面.在z轴上取一点O',使OO'=2,以O'为原点画直线a和直线b,使直线a∥x轴,直线b∥y轴,在平面aO'b内以O'为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图A'B'C'D'.
(4)连线.被遮挡的线画成虚线(如图①),擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图(如图②).
探究点三直观图的还原与计算角度1直观图还原成原图形【例3】如图所示,△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复成原图形.
解(1)画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O'A',即CA=C'A';(2)过B'作B'D'∥y'轴,交x'轴于D',在x轴上取OD=O'D',过D作DB∥y轴,并使DB=2D'B';(3)连接AB,BC,△ABC即为△A'B'C'原来的图形,如图所示.
角度2直观图与原图形面积间的关系【例4】已知△ABC的平面直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,那么原△ABC的面积为()C
解析画△ABC直观图如图①所示:
规律方法1.由直观图还原平面图形关键有两点:(1)平行x'轴的线段长度不变,平行y'轴的线段扩大为原来的2倍;(2)对于相邻两边不与x',y'轴平行的顶点可通过作x'轴、y'轴平行线来确定其在xOy中的位置.2.由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变,而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半,同时要倾斜45°,因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点:(1)直观图中任何一点距x'轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的
变式训练2(1)如图所示,△A'B'C'是△ABC的直观图,其中A'C'=A'B',那么△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形(2)如图所示,梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图.若A1D1平行于y'轴,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O'D1=1.请画出原来的平面几何图形,并求原图形的面积.B
(1)解析由直观图看出,三角形中有两边分别和两坐标轴平行且相等,由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行,即有两边垂直且不等,所以原三角形为直角三角形.
(2)解如图所示,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2.过点D作y轴的平行线,并截取DA=2D1A1=2.过点A作x轴的平行线,并截取AB=A1B1=2.连接BC,即得到原图形.(方法一)由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长分别为AB=2,CD=3,高AD=2.
本节要点归纳1.知识清单:(1)水平放置的平面图形的直观图的画法;(2)空间几何体直观图的画法;(3)直观图的还原与计算.2.方法归纳:转化法.3.常见误区:易忽视同一图形选取坐标系的角度不同,得到的直观图可能不同.
学以致用•随堂检测全达标
1.(多选)关于斜二测画法所得到的直观图,下列说法正确的是()A.三角形的直观图是三角形B.平行四边形的直观图是平行四边形C.正方形的直观图是正方形D.菱形的直观图是菱形AB解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形.
2.(多选)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图,D'为B'C'的中点,且A'D'∥y'轴,B'C'∥x'轴,那么在原平面图形中()A.AB与AC相等B.AD的长度大于AC的长度C.AB的长度大于AD的长度D.BC的长度大于AD的长度AC解析根据斜二测画法可知,AD=2A'D',BC=B'C',AD⊥BC,BD=CD,由勾股定理知AB=AC,由直角三角形边的关系知ADAD,BC与AD的长度大小不确定.
3.下面每个选项的2个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()C解析可分别画出各组图形的直观图,观察可得结论.
4.如图,平行四边形A'B'C'D'为一个平面图形的直观图,则它的原图形四边形ABCD的形状为.正方形解析因为∠D'A'B'=45°,由斜二测画法规则知∠DAB=90°,又因为四边形A'B'C'D'为平行四边形,且A'B'=2B'C',所以AB=BC=AD,所以原四边形ABCD为正方形.
5.如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图,则△AOB的面积是.16解析由题图可知O'B'=4,则对应△AOB中,OB=4.又与y'轴平行的线段的长度为4,则对应△AOB的高为8,所以△AOB的面积为×4×8=16.
6.用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm,3cm,2cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.解画法步骤:(1)画轴.如图,画x'轴、y'轴、z'轴,三轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°.(2)画底面.以点O'为中点,在x'轴上取线段M'N',使M'N'=4cm;在y'轴上取线段P'Q',使P'Q'=cm.分别过点M'和N'作y'轴的平行线,过点P'和Q'作x'轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z'轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA',BB',CC',DD'.(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.
本课结束
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