北师大版高中数学必修第二册课件6.3 第1课时 空间点、直线、平面之间的位置关系

第六章第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系 课标要求1.通过长方体这一常见的几何体,体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会用数学符号表示点、线、面的位置关系.3.掌握平面的基本性质(3个基本事实和3个推论),并能应用其解决点、线、面位置关系的判断和共点、共线、共面等问题的证明. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点一点、直线、平面之间的关系类型位置关系图形表示符号表示点与直线的位置关系点B在直线a上B∈a点A在直线a外点与平面的位置关系点A在平面α内点B在平面α外B∉αA∉aA∈α 类型位置关系图形表示符号表示直线与直线的位置关系即不平行又不相交的两条直线在空间中存在,在平面几何中不存在相交a∩b=O不相交或直线与平面的位置关系直线在平面内a⊂α直线与平面相交a∩α=A直线与平面平行a∩b=⌀a∥α 类型位置关系图形表示符号表示平面与平面的位置关系平面与平面平行平面与平面相交α∩β=aα∥β 名师点睛1.在用符号语言表示点、线、面的关系时,要分清是属于元素和集合的关系,还是集合之间的关系,一般点看成元素,线和面看成点的集合.2.直线与平面平行和直线与平面相交统称为直线在平面外,即3.点、线的位置关系用图示表示时可以用平面衬托,线面或面面位置关系的图示表示时要注意线的虚实,被遮挡的要画成虚线或不画. 过关自诊把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.(1)A∉α,a⊂α.(2)α∩β=a,P∉α,且P∉β.(3)a∩α=A.(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O.CDAB 知识点二平面的基本性质及其推论1.平面的基本性质基本事实内容图形表示符号表示基本事实1过不在一条直线上的,有且只有一个平面唯一性若A,B,C三点不共线,则存在唯一的平面α使A,B,C∈α基本事实2如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在这个平面内若A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有条过该点的公共直线唯一性P∈α,P∈β⇔α∩β=l,且P∈l,其中l表示一条直线三个点两个点一 2.三个推论推论内容图形表示推论1一条直线和该直线外一点确定一个平面推论2两条相交直线确定一个平面推论3两条平行直线确定一个平面 名师点睛三个基本事实的作用(1)基本事实1:①确定一个平面;②判断两个平面重合;③证明点、线共面.(2)基本事实2:①判断直线是否在平面内,点是否在平面内;②用直线检验平面.(3)基本事实3:①判断两个平面相交;②证明点共线;③证明线共点. 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.()(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,记作α∩β=A.()(3)空间不同的三点确定一个平面.()(4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()2.两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗?×××√提示不能.要么没有公共点,要么有无数个公共点. 重难探究•能力素养全提升 探究点一图形语言、文字语言、符号语言的相互转换【例1】(1)若点A在直线b上,b在平面β内,则点A,直线b,平面β之间的关系用符号可以记作.(2)用符号表示下列语句,并画出图形.①点A在平面α内但在平面β外;②直线a经过平面α内一点A,α外一点B;③直线a在平面α内,也在平面β内.A∈b,b⊂β,A∈β(2)解①A∈α,A∉β.(如图①)②a∩α=A,B∉α,B∈a.(如图②)③α∩β=a.(如图③) 规律方法三种语言转换方法:用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线及相互之间的位置关系,试着用文字语言表示,再用符号语言表示. 变式训练1用符号表示下列语句,并画出图形.(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B.(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.解(1)用符号表示α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图.(2)用符号表示A∈α,B∈α,a∩α=C,C∉AB,如图. 探究点二证明点、线共面【例2】证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.解已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.证明:(方法一)纳入平面法因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又l2⊂α,所以B∈α.同理可证C∈α.因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α.所以直线l1,l2,l3在同一平面内. (方法二)辅助平面法因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α.因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内. 规律方法证明点、线共面问题的理论依据是基本事实1和基本事实2,常用方法有:(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入平面法”;(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”;(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”.注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,再证明. 变式探究把本例中的“不过同一点”删掉呢?这三条直线是否共面?解①不一定共面.若三条直线两两相交,且过同一个点.这三条直线在同一个平面内相交,如图.这三条直线不共面.如图.②若三条直线两两相交,且不过同一个点,由本例可知,这三条直线共面. 探究点三证明点共线【例3】已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线. 证明(方法一)因为AB∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.所以由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,所以P,Q,R三点共线.(方法二)因为AP∩AR=A,所以直线AP与直线AR确定平面APR.又AB∩α=P,AC∩α=R,所以平面APR∩平面α=PR.因为B∈平面APR,C∈平面APR,所以BC⊂平面APR.因为Q∈BC,所以Q∈平面APR.又Q∈α,所以Q∈PR,所以P,Q,R三点共线. 规律方法点共线:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上. 变式训练2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.则B,E,D1三点的关系为.(填“共线”或“不共线”)共线 解析如图所示,连接A1B,BD1,CD1.因为A1C∩平面ABC1D1=E,所以E∈A1C,E∈平面ABC1D1.因为A1C⊂平面A1BCD1,所以E∈平面A1BCD1.因为平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,所以E∈BD1,所以B,E,D1三点共线. 探究点四证明线共点【例4】如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点. 证明因为α∩γ=b,β∩γ=a,所以a⊂γ,b⊂γ.因为直线a和b不平行,所以a,b必相交.如图所示,设a∩b=P,则P∈a,P∈b.因为a⊂β,b⊂α,所以P∈β,P∈α.又α∩β=c,所以P∈c,即交线c经过点P.所以a,b,c三条直线必过同一点.规律方法证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点. 变式训练3如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,且四边形EFGH为梯形,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点. 证明延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O,因为HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,所以EH,FG共面,且与FG不平行.因为O∈EH,EH⊂平面ABD,所以O∈平面ABD,因为O∈FG,FG⊂平面BCD,所以O∈平面BCD.因为平面ABD∩平面BCD=BD,所以O∈BD,所以EH,BD,FG三条直线相交于同一点O. 本节要点归纳1.知识清单:(1)点、线、面之间的位置关系;(2)空间点、线、面位置关系的公理及推论.2.方法归纳:同一法、纳入法.3.常见误区:三种语言的相互转换(符号语言,图形语言,文字语言). 学以致用•随堂检测全达标 1.(多选)下列命题中错误的是()A.空间三点可以确定一个平面B.三角形一定是平面图形C.若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则平面α和平面β重合D.四条边都相等的四边形是平面图形ACD解析对于A:若空间中三点共线,则无法确定平面,故A错误;对于B:三角形一定是平面图形,故B正确;对于C:若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则此四点可能在平面α与平面β的交线上,无法确定平面α和平面β是否重合,故C错误;对于D:四条边都相等的四边形可能是空间四边形,故D错误. 2.如果点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为()A.A⊂a,a⊂α,B∈αB.A∈a,a⊂α,B∈αC.A⊂a,a∈α,B⊂αD.A∈a,a∈α,B∈αB 3.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是.P∈DE解析因为P∈AB,AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈DE. 4.经过同一条直线上的3个点的平面有个.5.若l1∥l2,l3与l1,l2分别相交于点C,B.求证:l1,l2,l3在同一平面内.无数证明因为l1∥l2,所以l1,l2确定一个平面记为α.因为l1∩l3=C,所以C∈l1.因为l1⊂α,所以C∈α.因为l2∩l3=B,所以B∈l2.因为l2⊂α,所以B∈α.因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α,即l1,l2,l3在同一平面内. 本课结束