第六章1.3简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
课标要求1.了解球、圆柱、圆锥、圆台的定义.2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征,并能在几何体中进行相关的计算.3.了解简单组合体的概念及结构特征.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点一球1.球的定义、相关概念、图形及表示球及相关概念图形及表示定义以所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面.球面所围成的几何体称为球体,简称球球面不能展开成平面图形球用表示它球心的字母来表示图中的球记作:相关概念球心:半圆的;半径:连接球心和球面上任意一点的线段;直径:连接球面上两点并且过球心的线段半圆的直径圆心球O
2.球的相关性质(1)球面上所有的点到球心的距离都等于球的半径;(2)用任何一个平面去截球面,得到的截面都是圆,其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大,等于球的半径.
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.()(2)球面和球体是一样的.()(3)连接球面上两点的线段为球的直径.()(4)过球面上一点可以作出无数个大圆.()2.过球面上任意两点A,B作大圆,可能作大圆的个数是多少?×××√提示当过A,B的直线经过球心时,经过A,B的截面所得的圆都是球的大圆,这时过A,B作球的大圆有无数个;当直线AB不经过球心O时,经过A,B,O的截面就是一个大圆,这时只能作出一个大圆.
知识点二圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征1.定义矩形的一边直角三角形的一条直角边直角梯形垂直于底边的腰
2.相关概念(1)高:在上的这条边的长度.(2)底面:的边旋转而成的圆面.注意圆面与圆不同(3)侧面:旋转而成的曲面.(4)母线:绕轴旋转的边.母线无数条且都相等旋转轴垂直于旋转轴不垂直于旋转轴的边
3.图形表示
名师点睛四种常见简单旋转体的性质比较类型球圆柱圆锥圆台底面形状无两个底面是互相平行且半径相等的圆圆两个底面是互相平行且半径不相等的圆母线无互相平行且长度相等相交于顶点且长度相等延长线交于一点且长度相等平行于底面的截面形状无与两个底面半径相等的圆与底面半径不相等的圆与两个底面半径不相等的圆过轴的截面的形状圆矩形等腰三角形等腰梯形
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.()(2)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.()(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱.()2.圆锥的母线长和底面圆直径有何关系?×√×提示圆锥的母线长与底面直径无一般性关系;但是圆锥的母线、圆锥的高、圆锥底面圆半径可以组成直角三角形.
3.矩形的两相邻边长分别为3cm和4cm,以一边所在的直线为轴旋转,则所形成的圆柱的底面积为多少?提示当以3cm长的一边所在直线为轴旋转时,得到的圆柱的底面半径为4cm,底面积为16πcm2;当以4cm长的一边所在直线为轴旋转时,得到的圆柱的底面半径为3cm,底面积为9πcm2.
重难探究•能力素养全提升
探究点一旋转体的结构特征【例1】判断下列各说法是否正确.(1)用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和圆台;(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周而形成的面所围成的几何体是圆台;(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形;(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.
解(1)错.只有当平面平行于圆锥底面时,才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台.(2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.(3)正确.(4)错.应为球面.规律方法准确理解旋转体的定义,在此基础上掌握各旋转体的性质,才能更好地把握它们的结构特征,以作出准确的判断.
变式训练1给出下列说法:①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;②圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交;③圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线.其中说法正确的是.(填序号)①解析①正确,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;②不正确,圆台的母线延长后必相交于一点;③不正确,由圆柱母线的定义知,圆柱的母线应平行于轴.
探究点二球的截面问题【例2】已知半径为25cm的球的一个截面的面积是49πcm2,则球心到这个截面的距离为.24cm解析设球的半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d.即球心到这个截面的距离为24cm.规律方法设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形,解答球的截面问题时,常用该直角三角形或者用过球心和截面圆心的轴截面求解.
变式训练2半径是13cm的球面上有A,B,C三点,并且AB=BC=CA=12cm,试求球心到经过这三点的截面的距离.解设截面圆的圆心为O1,球的球心为O,则OO1即为球心到截面的距离,又O1是正三角形ABC的外心,所以球心到经过A,B,C三点的截面的距离为11cm.
探究点三圆柱、圆锥、圆台中的有关计算【例3】如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台O'O的母线长.
解设圆台的母线长为lcm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为rcm,4rcm.过轴SO作截面,如图.则△SO'A'∽△SOA,SA'=3cm,解得l=9,故圆台O'O的母线长为9cm.规律方法用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构造相关几何变量的方程组而得解.这种立体问题平面化是解答旋转体中计算问题最常用的方法.
变式探究本例中若圆台的上底面半径为1cm,其他条件不变,试求圆台的高.解因为圆台的上底面半径为1cm,所以下底面半径为4cm.如图,在Rt△A'HA中,
探究点四旋转体中的最值问题【例4】一个圆锥的底面半径为2,高为6,且有一个高为x的内接圆柱.(1)用x表示出圆柱的轴截面面积S.(2)当x为何值时,S取得最大值?
解作出圆锥和内接圆柱的轴截面,如图.
规律方法1.对于旋转体中截面积的最值问题,一般是将面积表示为某一变量的函数,转化为函数最值问题,还要注意变量的取值范围的限制;2.对于旋转体侧面上两点间距离的最小值问题,常利用侧面展开图转化为平面上两点间线段最短问题.
变式训练3已知圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm,母线长AB=20cm,从圆台母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到点A,求:(1)绳子的最短长度;(2)在绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离.
解(1)如图所示,将侧面展开,绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度.即绳子最短长度为50cm.(2)作OQ⊥AM于点Q,交弧BB'于点P,则PQ为所求的最短距离.∵OA×OM=AM×OQ,∴OQ=24cm.故PQ=OQ-OP=24-20=4(cm),即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.
本节要点归纳1.知识清单:(1)旋转体的概念;(2)球的结构特征;(3)圆柱、圆锥、圆台的结构特征.2.方法归纳:分类讨论、转化与化归.3.常见误区:(1)易忽视同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的;(2)球的截面问题易漏掉情况.
学以致用•随堂检测全达标
1.(多选)下列说法中不正确的是()A.将正方形旋转一周不可能形成圆柱B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线ABD解析将正方形绕其一边所在直线旋转一周可以形成圆柱,故A错误;B中没有说明这两个平行截面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况下结论不正确,故B错误;通过圆台侧面上一点,只有一条母线,故D错误.
2.一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为.(只填写序号)①②③解析当截面平行于正方体的一个侧面时得①图;当截面过正方体的体对角线时得③图;当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得②图.
3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的母线长为.2解析如图所示,设等边三角形ABC为圆锥的轴截面,所以AB=2.故圆锥的母线长为2.
4.某球类比赛的冠军奖杯如图所示,顶部的球通过三根竖直的支撑杆与水平放置的长方体底座相连.若球的半径为15cm,三根支撑杆长度均为30cm,粗细忽略不计,且任意两根支撑杆之间的距离均为12cm,则球的最低点到底座上表面的距离为cm.24
解析设三根支撑杆与球的连接点分别为A,B,C,则依题意有,所以球心到底座上表面的距离为d+30=39(cm),所以球的最低点到底座的上表面的距离为39-15=24(cm).
本课结束
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