第六章1.1构成空间几何体的基本元素
课标要求1.借助几何体,理解点、线、面是构成几何体的基本元素.2.平面的特征性质及其表示.3.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点一构成空间几何体的基本元素空间几何体的基本几何元素是点、线(直线和曲线)、面(平面和曲面)等.“点动成线,线动成面,面动成体”名师点睛1.我们所学的几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小,而不考虑其他因素.2.以长方体为例:长方体由六个面围成,每个面都是矩形(包括它的内部);相邻两个面的公共边,叫作长方体的棱;棱和棱的公共点,叫作长方体的顶点.长方体有6个面、12条棱、8个顶点.
过关自诊天空中飘浮的气球是空间几何体吗?它是否由点、线、面构成?提示气球的内部虽是空的,但气球仍占有一定的空间,具有大小和形状,因此气球是空间几何体,它也是由点、线、面构成的.
知识点二平面1.特征:平面是空间最基本的图形,平面是无限延展的.斜二测画法2.画法:一般地,用表示平面.当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成,横边长画成邻边长的.3.命名:平面通常用希腊字母α,β,γ等来表示,也可以用表示平行四边形顶点的字母表示,还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示.平行四边形45°两倍
名师点睛1.平面是只描述不定义的原始概念,它具有无限延展性,是理想的、处处平直的,因此它没有厚度、没有大小,也没有面积、体积、重量等,即平面在各个项目上都是不可度量的.2.平面的无限延展性,使其能将空间一分为二,也正是由于它的无限延展性,可以根据我们的需要向四周延展.
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)平面具有无限延展性.()(2)两个平面比一个平面厚.()(3)平行四边形就是一个平面.()(4)用长方形表示水平放置的平面.()2.几何中的“平面”有边界吗?用什么图形表示平面?√×××提示没有边界;常用平行四边形表示平面.
知识点三空间中直线、平面的位置关系如图,直线AB和平面A1B1C1D1没有公共点,即直线AB与平面A1B1C1D1平行;直线AA1和平面ABCD中的AD,AB均垂直,可以看作AA1垂直于平面ABCD;平面ABCD和平面A1B1C1D1没有公共点,我们说这两个平面是平行的;平面ABCD和平面A1ABB1反映了两个平面相交.此时交线是直线AB
名师点睛1.在学习立体几何的过程中,要注意与初中所学平面几何知识进行类比,不要照搬,因为平面几何中的一些结论不能推广到空间中.2.当两个平面相交时,可以如图把被遮挡部分画成虚线或不画.这样,看起来立体感强一些.
过关自诊1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线BD1既不相交又不平行的棱有()A.3条B.4条C.6条D.8条2.下列关于长方体ABCD-A1B1C1D1中点、线、面位置关系的说法正确的是.(填序号)①直线AA1与直线BB1平行;②直线AA1与平面C1D1DC相交;③直线AA1与平面ABCD垂直C①③
重难探究•能力素养全提升
探究点一构成几何体的基本元素【例1】试指出下图中组成各几何体的基本元素.解(1)中几何体有6个顶点、12条棱和8个面.(2)中几何体有12个顶点、18条棱和8个面.(3)中几何体有6个顶点、10条棱和6个面.
规律方法点是最基本的元素,只有位置,没有大小;直线没有粗细,向两端无限延伸;平面没有厚度,向四周无限延展.要熟记这三种基本元素的特点.在现实生活中要多观察几何体,以加深对构成空间几何体的基本元素的认识.
变式训练1如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的有().(填序号)①长方体一共有8个顶点;②线段AA1所在的直线是长方体的一条棱;③矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面;④长方体由六个平面围成.①
探究点二对于平面的理解【例2】判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)平面的形状是平行四边形;(2)圆和平面多边形都可以表示平面;(3)若S▱ABCD>S▱A'B'C'D',则平面ABCD大于平面A'B'C'D'.解(1)不正确.我们常用平行四边形表示平面,但不能说平面的形状是平行四边形,平面是无形状可言的.(2)正确.通常情况下我们利用平行四边形来表示平面,但有时根据需要也可以用圆或其他平面多边形来表示平面.(3)不正确.因为平面无大小可言.
规律方法1.在空间几何体中,平面是无限延展的,是理想的、绝对平直的.2.平面是抽象出来的,没有厚度、没有大小,因此无法度量.平面几何中的平面图形,如三角形、四边形等都是有大小的,可以度量的,它们本身不是平面.3.任何一个平面都可以将空间分为两部分,如果想从平面的一侧到另一侧,那么必须穿过这个平面.
变式训练2下列说法正确的是()A.生活中的几何体都是由平面组成的B.曲面都是有一定大小的C.直线是无限个点组成的,而线段是由有限个点组成的D.平面图形是空间图形的重要组成部分D解析组成几何体的面既可以是平面,也可以是曲面;曲面也可以是无限延展的;直线和线段都是由无数个点组成的.根据这些特点可以排除A,B,C.
探究点三几何中基本元素的位置关系【例3】如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,在长方体的面与棱中,(1)与棱BC平行的棱是哪几条?(2)与棱BC平行的平面是哪几个?(3)与棱BC垂直的平面是哪几个?解在长方体的面与棱中,(1)与棱BC平行的棱有棱B1C1,棱A1D1,棱AD.(2)与棱BC平行的平面有平面A1C1,平面AD1.(3)与棱BC垂直的平面有平面AB1,平面DC1.
规律方法通过本例可以得到如下规律:(1)平行关系①直线与直线的平行关系:如图,在长方体的12条棱中,分成“长”“宽”“高”三组,其中“高”AA1,BB1,CC1,DD1相互平行;“长”AB,DC,A1B1,D1C1相互平行;“宽”AD,BC,A1D1,B1C1相互平行.②直线与平面的平行关系:在长方体的12条棱及表面中,若棱所在的直线与某一平面(棱不在该平面内)不相交,则二者平行.③平面与平面的平行关系:长方体的对面相互平行.
(2)垂直关系①直线与平面的垂直关系:在长方体的棱所在直线与各表面中,若直线与平面有且只有一个公共点,则二者垂直.②平面与平面的垂直关系:在长方体的各表面中,若两平面有公共点,则二者垂直.
变式探究(1)本例中与棱A1D1相交的棱有哪几条?它们与棱A1D1所成的角的度数是多少?(2)在本例长方体的12条棱中,可以用来表示平面A1B与平面D1C之间距离的是哪些棱?解(1)与棱A1D1相交的棱有4条,分别是棱A1A,棱A1B1,棱D1D,棱D1C1.因为长方体六个面都是矩形,所以它们与棱A1D1所成的角的度数都是90°.(2)由长方体的性质知棱A1D1,棱B1C1,棱BC,棱AD的长都可以用来表示面A1B与面D1C之间的距离.
本节要点归纳1.知识清单:(1)构成空间几何体的基本元素;(2)对平面的理解及其画法;(3)点线面的位置关系的直观认识;(4)简单几何体的展开.2.方法归纳:转化法、数形结合.3.常见误区:(1)对于平面无限延展的理解;(2)简单几何体展开前后长度和角度的变化.
学以致用•随堂检测全达标
1.下列说法:①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面;②一个几何体可以没有顶点;③一个几何体可以没有棱;④一个几何体可以没有面.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4B解析球由曲面围成,没有顶点和棱,故①错,②对,③对,由于几何体是空间图形,故一定有面,④错.
2.下列说法正确的是()A.在空间中,一个点运动成直线B.在空间中,直线平行移动形成平面C.在空间中,直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面D.在空间中,矩形上各点沿同一方向移动形成长方体C解析一个点运动也可以成曲线,故A错;在空间中,直线平行移动可以形成平面或曲面,故B错;在空间中,矩形上各点沿垂直于矩形的方向向上(或向下)移动相同距离所形成的几何体是长方体,故D错.
3.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图所示,A,B,C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC=.60°解析将平面图形翻折,折成空间图形,可得△ABC为等边三角形,故∠ABC=60°.
4.如图是一个正方体的表面展开图,A,B,C均为所在棱的中点,D为正方体的顶点.若正方体的棱长为2,求封闭折线ABCDA的长.
本课结束
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