北师大版高中数学必修第二册课件5.2.1 复数的加法与减法

第五章2.1复数的加法与减法 课标要求1.掌握复数代数形式的加法、减法运算法则.2.理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义.3.能够利用复数代数形式的加法、减法运算法则及几何意义解决问题. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点一复数加、减法的运算法则与运算律运算是封闭的1.两个复数的和仍是一个复数,两个复数的和的实部是它们的实部的和,两个复数的和的虚部是它们的虚部的和.(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i运算是封闭的2.两个复数的差仍是一个复数,两个复数的差的实部是它们的实部的差,两个复数的差的虚部是它们的虚部的差.(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i3.复数的加法运算满足如下运算律:(1)结合律:(z1+z2)+z3=.(2)交换律:z1+z2=.z1+(z2+z3)z2+z1 名师点睛1.复数的加、减法是一种规定,减法是加法的逆运算,可以推广到多个复数相加减.2.当复数的虚部为零时,与实数的加、减法完全一致.3.实数加法的交换律、结合律在复数集中仍然成立. 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)两个虚数的和或差可能是实数.()(2)在进行复数的加法运算时,实部与实部相加得实部,虚部与虚部相加得虚部.()(3)复数与复数相加、减后结果只能是实数.()(4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.()(5)复数的减法不满足结合律,即(z1-z2)-z3=z1-(z2+z3)可能不成立.()2.你能举例说明|z1+z2|=|z1|+|z2|不恒成立的理由吗?√√××× 知识点二复数加法的几何意义名师点睛复数加法运算的几何意义类似于向量加法运算的平行四边形法则. 过关自诊两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?提示是复数,唯一确定. 知识点三复数减法的几何意义 名师点睛1.复数减法的几何定义的实质(1)根据复数减法的几何意义知,两个复数对应向量的差所对应的复数就是这两个复数的差.(2)在确定两复数的差所对应的向量时,应按照“首同尾连向被减”的方法确定.2.由复数加减法的几何意义可得结论:||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|. 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)两个复数的差在复平面上对应的点可能在虚轴上.()(2)两个纯虚数的差在复平面上对应的点不可能在实轴上.()(3)若复数z1,z2在复平面内对应的点为Z1,Z2,则z1-z2与向量对应.()2.若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2?√×√提示不能,如3+2i-2i>0,但3+2i与2i不能比较大小. 重难探究•能力素养全提升 探究点一复数的加法、减法运算(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z.1+i解(方法一)设z=x+yi(x,y∈R),因为z+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.(方法二)因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i. 规律方法复数加、减运算的方法技巧(1)可把复数运算类比实数运算.若有括号,先计算括号里面的;若没有括号,可以从左到右依次进行.(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利用运算律简化运算,注意正负号法则与实数相同,不能弄错. 变式训练1(1)计算(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=.(2)若(1-3i)+z=6+2i,则复数z=.-2-4i5+5i解析(1)(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i. 探究点二复数加法、减法运算的几何意义 规律方法向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数). 变式训练2如图所示,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别对应0,3+2i,-2+4i.求: 探究点三复数加法、减法运算的几何意义的综合应用【例3】已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.解(方法一)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,∴a2+b2=c2+d2=1,①(a-c)2+(b-d)2=1,②由①②得2ac+2bd=1, (方法二)设O为坐标原点,z1,z2,z1+z2对应的点分别为A,B,C.∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,∴△OAB是边长为1的正三角形,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则四边形OACB是一个内角为60°,边长为1的菱形,且|z1+z2|是菱形的较长的对角线OC的长, 规律方法1.设出复数z=x+yi(x,y∈R),利用复数相等或模的概念,可把条件转化为关于x,y满足的关系式,再利用方程思想求解.2.在复平面内,z1,z2对应的点为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB:(1)为平行四边形;(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;(3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形. 变式探究已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|. 本节要点归纳1.知识清单:(1)复数代数形式的加、减运算;(2)复数加、减法的几何意义;(3)复平面上两点间的距离公式.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:(1)混淆复数加、减法的几何意义;(2)忽略复数模的几何意义. 学以致用•随堂检测全达标 1.若复数z-2+3i=1-i,则|z|=()A.3B.4C.5D.6C解析由z-2+3i=1-i可得z=3-4i, A.2+8iB.-6-6iC.4-4iD.-4+2iC 3.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=.-1解析∵z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i(a∈R)为纯虚数,4.若复数z满足|z-i|=3,则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为.9π解析由条件知|z-i|=3,所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心,以3为半径的圆,故其面积为S=9π. 5.已知复数z满足z+|z|=9+3i,求z. 本课结束