第四章3.1二倍角公式
课标要求1.掌握二倍角公式及其推导过程.2.灵活运用二倍角公式与和角、差角公式解决求值、化简和证明问题.3.体会二倍角公式与和角、差角公式的内在联系.4.能综合运用三角函数公式解决综合问题.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点二倍角的正弦、余弦和正切公式三角函数公式简记正弦sin2α=S2α余弦cos2α=cos2α-sin2α==C2α正切tan2α=T2α2sinαcosα2cos2α-11-2sin2α
名师点睛1.二倍角公式中S2α,C2α对任意角α均成立,但在T2α中,
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)×√√×√√
2.倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗?提示倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况,还可运用于4α作为2α的二倍,
重难探究•能力素养全提升
探究点一利用二倍角公式解决给角求值问题【例1】求下列各式的值:
规律方法对于给角求值问题,一般有两类:(1)直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
变式训练1求下列各式的值:
探究点二利用二倍角公式解决条件求值问题
规律方法解决条件求值问题的方法给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
变式训练2A
探究点三利用二倍角公式解决化简与证明问题【例3】(1)化简:cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)·cos(90°-θ);
规律方法1.对于三角函数式的化简,要注意以下两点:(1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异.(2)三角函数式的化简,主要有以下几类:①对三角的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;②对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或数值;③对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.
2.对于无条件的恒等式证明,常采用的方法有化繁为简和左右归一,关键是分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找出差异,寻找突破口;有条件的等式证明,常先观察条件及式中左右两边三角函数式的区别与联系.另外,需注意二倍角公式本身是“升幂公式”,其变形是“降幂公式”,在证明中应灵活选择.
变式训练3
探究点四二倍角公式在三角函数中的应用
规律方法要研究三角函数的周期性、单调区间、值域等性质,就必须要把函数解析式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,因此,化简函数解析式是研究性质的前提.而化简解析式时,需要用到各种三角函数公式,例如,同角的三角函数基本关系式、两角和与差的三角函数公式及倍角公式,特别是当解析式的次数不是1时,经常用倍角公式及其变形进行降幂,然后用其他相关公式化简.
变式训练4
探究点五二倍角公式在实际问题中的应用【例5】如图,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B,C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m.(1)如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大,最大值是多少?(2)沿着AB,BC,CD修一条步行小路从A到D,如何选择A,D的位置,使步行小路的距离最远?
解(1)连接OB,如图所示,设∠AOB=θ,因为A,D关于点O对称,所以AD=2OA=40cosθ.设矩形ABCD的面积为S,则S=AD×AB=40cosθ·20sinθ=400sin2θ.
(2)由(1)知AB=20sinθ,AD=40cosθ,
规律方法三角函数与平面几何有着密切联系,几何中的角度、长度、面积等问题,常借助三角恒等变换来解决;实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上,故常用三角函数模型解决实际的优化问题.
变式训练5等腰三角形一个底角的余弦值为,那么这个三角形顶角的正弦值为.
本节要点归纳1.知识清单:(1)二倍角公式的推导;(2)掌握二倍角公式的正用、逆用和变形用,并能进行化简、求值和证明.2.方法归纳:转化法、整体代换法.3.常见误区:(1)化简求值开根号时;(2)忽视角的范围.
学以致用•随堂检测全达标
B
B
C
本课结束
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