北师大版高中数学必修第二册课件4.1 同角三角函数的基本关系

第四章1.1基本关系式1.2由一个三角函数值求其他三角函数值1.3综合应用 课标要求1.掌握同角三角函数的基本关系.2.能利用同角三角函数的基本关系进行求值、化简与证明. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点三角函数的基本关系如图,任意角α的终边与单位圆的交点P的坐标是(cosα,sinα),点P到坐标原点O的距离为1,所以sin2α+cos2α=.角α是任意的另外,由正切函数的定义,有tanα=,这两个关系式是同角三角函数的基本关系式.1 名师点睛1.“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,与角的表达形式无关.2.两个公式体现的是同角三角函数的基本关系,其中平方关系体现的是同一个角的正弦与余弦之间的关系;商数关系体现的是同一个角的正弦、余弦和正切三者之间的关系.3.sin2α与sinα2之间的区别:前者是α的正弦的平方,读作“sinα的平方”;后者是α的平方的正弦,两者是截然不同的. 4.同角三角函数基本关系式的变形有以下几种:(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)sinα=cosα·tanα;(4)cosα=;(5)(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα. 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)sin2α+cos2β=1.()×√×××√× 2.设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y=sinα,x=cosα,=tanα.能否根据x,y的关系得到sinα,cosα,tanα的关系?3.式子sin22023+cos22023=1正确吗?提示可以,由x2+y2=1,得cos2α+sin2α=1.提示在等式sin2x+cos2x=1中x∈R,所以sin22020+cos22020=1正确. 重难探究•能力素养全提升 探究点一简单的三角函数求值问题 规律方法1.(1)已知sinθ,求cosθ,tanθ,常用以下方式求解:(2)已知cosθ,求sinθ,tanθ,常用以下方式求解:(3)已知tanθ,求sinθ,cosθ,常用以下方法求解: 2.(1)若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能位于的象限,再分类求解;(2)利用平方关系时,应根据角θ的终边所在的象限确定所求三角函数值的符号. 变式训练1BC 探究点二关于sinα,cosα的齐次式的求值 规律方法1.若待求分式的分子、分母都是含有sinα,cosα的齐次式,则可采用分子、分母同时除以cosα的若干次方,将其转化为关于tanα的表达式,比如:2.若一个式子是关于sin2α与cos2α的二次齐次式,则可逆用平方关系sin2α+cos2α=1将其转化为1中的问题再求解.比如:asin2α+bsinαcosα+ccos2α 变式训练2 探究点三利用sinθ±cosθ与sinθcosθ间的关系求值【例3】已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),求:(1)tanθ;(2)sinθ-cosθ. 规律方法1.由同角三角函数的基本关系式,可得(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,因此sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ三式之间有密切的关系,知一式的值可求另两式的值.2.在求解sinα±cosα的值时往往需要用到开方,此时需要先判断sinα±cosα的正负,判定的方法有:(1)根据sinαcosα的正负进行判断;(2)可根据角的范围进行判断. 变式探究把条件中的sinθ+cosθ与结论中的sinθ-cosθ互换.已知sinθ-cosθ=,θ∈(0,π),则sinθ+cosθ=,tanθ=. 探究点四三角函数的化简与求值 规律方法1.三角函数式的化简方法三角函数式的化简就是表达式的恒等变形,其一般要求如下:(1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最低;(2)尽量使分母不含三角函数式;(3)根式内的三角函数式尽量开出来;(4)能求得数值的应计算出来.注意在三角函数式变形时,常将式子中的“1”作巧妙的变形. 2.(1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的. 变式训练3 探究点五证明三角恒等式 (方法三)因为1-sin2α=cos2α,所以(1-sinα)(1+sinα)=cos2α,由已知得cosα≠0,1-sinα≠0, 规律方法三角恒等式的证明方法证明三角恒等式,实际上就是将左右两端表面看似存在较大差异的式子,通过巧妙变形后消除差异,使其左右两端相等.为了达到这个目的,我们经常采用以下的策略和方法:(1)从一边开始,证明它等于另一边;(2)证明左右两边都等于同一个式子;(3)变更论证,采用左右相减、化除为乘等方法,转化成与原结论等价的命题形式. 变式训练4 本节要点归纳1.知识清单:(1)同角三角函数的基本关系式;(2)利用同角三角函数的基本关系化简与证明;(3)sinα±cosα型求值问题;(4)齐次式问题.2.方法归纳:转化法(化切求值)、整体代换法.3.常见误区:求值时注意α的范围,如果无法确定,一定要对α所在的象限进行分类讨论. 学以致用•随堂检测全达标 A A.sin50°-cos50°B.sin50°+cos50°C.cos50°-sin50°D.-sin50°-cos50°A=|sin50°-cos50°|=sin50°-cos50°.故选A. B 证明因为tanα=cosα,所以sinα=cos2α, 本课结束