北师大版高中数学必修第二册课件4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用

第四章2.1两角和与差的余弦公式及其应用 课标要求1.能利用三角函数的定义与向量知识推导出两角和与差的余弦公式.2.掌握两角和与差的余弦公式,能够运用公式解决相关问题.3.体会公式运用中一般与特殊的转化关系. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点一两角差的余弦公式如图,设角α,β的终边与单位圆的交点分别记为P,Q.此时,点P和点Q的坐标分别为(cosα,sinα)和(cosβ,sinβ). 所以对于任意角α,β来说,上述结论仍然成立.这样,就得到了两角差的余弦公式:cos(α-β)=,记作Cα-β.名师点睛公式中的角α,β是任意的.要注意公式的逆用、变形应用.两角差的余弦值等于两角的余弦之积加上正弦之积.cosαcosβ+sinαsinβ 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)对于任意角α,β,总有cos(α-β)=cosα-cosβ.()(3)cos54°cos24°+cos36°sin24°=cos30°.()2.cos60°-cos30°=cos(60°-30°)成立吗?提示不成立.3.cosα-cosβ=cos(α-β)成立吗?××√ 知识点二两角和的余弦公式这里用的是加法和减法运算的联系.因为Cα-β中对任意α,β都成立,所以把其中的β换成-β也一定成立因为α+β=α-(-β),所以由公式Cα-β,得cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=.这就是两角和的余弦公式,记作Cα+β.cosαcosβ-sinαsinβ 名师点睛公式中的角α,β是任意的,要注意公式的逆用、变形应用.两角和的余弦值等于两角的余弦之积减去正弦之积.名称公式简记符号条件两角和的余弦cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβCα+βα,β∈R两角差的余弦cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβCα-β 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)不存在角α,β,使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ.()(2)对于任意角α,β,总有cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ.()(3)对于任意角α,β,总有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.()××√×2.在cos(α±β)的公式中,α,β可以是几个角的组合吗?3.利用cos(α-β)推导cos(α+β)的过程中,利用了什么方法?提示可以.提示推导过程中,利用了角的代换的方法.α+β=α-(-β). 重难探究•能力素养全提升 探究点一利用两角和与差的余弦公式解决给角求值问题【例1】求下列各式的值:(1)cos(-375°);(2)cos75°cos15°-sin75°sin195°;(3)cos(α+45°)cosα+sin(α+45°)sinα; 解(1)cos(-375°)=cos375°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°(2)cos75°cos15°-sin75°sin195°=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos(75°-15°)=cos60°=. (3)cos(α+45°)cosα+sin(α+45°)sinα 规律方法利用公式Cα-β求值的方法技巧在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值.在转化过程中,要充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式来求值. 变式训练1求值:(1)sin46°cos14°+sin44°cos76°;(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°).解(1)sin46°cos14°+sin44°cos76°=sin(90°-44°)cos14°+sin44°cos(90°-14°)=cos44°cos14°+sin44°sin14° 探究点二利用两角和与差的余弦公式解决给值求值问题 规律方法给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有: 变式训练2 探究点三利用两角和与差的余弦公式解决给值求角问题 规律方法解决三角函数给值求角问题的方法步骤(1)确定角的范围,根据条件确定所求角的范围;(2)求所求角的某种三角函数值,最好选取在上述范围内单调的三角函数;(3)结合三角函数值及角的范围求角. 变式探究 本节要点归纳1.知识清单:(1)两角和与差的余弦公式的推导;(2)给角求值,给值求值,给值求角.2.方法归纳:构造法.3.常见误区:(1)公式中符号易弄反;(2)求角时易忽视角的范围. 学以致用•随堂检测全达标 1.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)·sin(25°+α)的值为()B A 本课结束