第三章1数学建模活动的准备2自主数学建模的开题交流
【数学建模活动介绍】数学建模活动是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.模型是实物、过程的表示形式,是人们认识事物的一种概念框架,也就是用某种形式来近似地描述或模拟所研究的对象或过程.模型可以分为具体模型和抽象模型两类,数学模型就是抽象模型的一种.一般地说,数学模型可以描述为对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,作出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到一个数学结构.
【数学建模的一般步骤】建模要经过哪些步骤并没有一定的模式,通常与问题性质、建模目的等有关.下面介绍的是机理分析方法建模的一般过程,如图所示.
【建模案例】建筑物高度的测量【试题】师生尝试测量一幢学校教学楼的高度,要求不能爬到楼顶去测量,要通过所学的数学知识进行测量与计算;三人一组,分工讨论,提出测算方案,分工合作完成测量,及时记录好测量数据并减小误差;不限定任何测算方法、工具;允许各组组内分工准备相应的测量工具(可以自制一些简单的测量工具),相互合作、组内讨论或通过互联网查阅相关资料.【模型准备】(1)查阅相关文献、资料和书籍,寻找合适测量方法.(2)结合数学知识,建立数学模型,并进行数学运算,求解模型.(3)准备测量工具.【模型假设】假设测量工具的精度符合要求.
【模型建立与求解】方法1:(如图①所示)“楼与人”的测量依据和方法.教学楼是实物,有实际高度、有影子长度;人有高度,同样是实物,也有影长,测出人的身高、影长和教学楼的影长,列出比例式就可以算出教学楼的高度.AB是教学楼的高度(未知),DE是一位同学的身高,为1.64米,EF表示该同学的影长为1.95米,并量得教学楼的影长BC为13.6米,算出教学楼的高度AB约为11.44米.
方法2:(如图②所示)“楼与竹竿”的测量依据和方法.原理和方法1差不多,用事先准备好的竹竿,在教学楼的影子上来回移动竹竿,直到看到竹竿的影子的顶端与教学楼影子的顶端重合.量出竹竿长DE为2.0米,竹竿影子长EC为2.39米,教学楼影子长BC为14.42米,列出比例式计算出教学楼的高度约为12.07米.
方法3:(如图③所示)“光的反射原理”测量依据和方法.根据光的反射原理,学生在离教学楼一段距离的地面上放一面镜子,然后人前后移动,直到在镜子里看到教学楼顶端.量出教学楼到镜子的距离BC为16.3米,学生到镜子的距离CE为2.07米,该学生的眼睛到地面的高度DE为1.49米,算出教学楼的高度约为11.73米.
方法4:(如图④所示)“楼、人眼与标杆”的测量依据和方法.该测量方法是在教学楼和一位同学之间放一标杆,人前后移动,使眼睛、标杆顶端和教学楼顶端三点共线,量出DE高为0.84米,GE长为2.11米,GC长为28.51米,人的眼睛到地面的高度GH为1.54米,算出教学楼的高度约为12.89米.
其他方法:还有同学提出用解直角三角形的方法测算出教学楼的高度,但是在实际的测量过程当中,地面和视线的夹角难得到60°、45°、30°的准确值.
【模型分析】同学们求解的结果各不相同,下面进一步分析产生这种结果的原因:(1)测量误差:学生自制的测量工具较为粗糙,测量不够准确.另外,学生利用测量工具测出的数据会有测量误差.(2)间距差的问题:如果间距差的值选定较小,两次测量的角度差就会很小,将会导致计算结果产生较大误差.(3)高度选取不对:存在部分学生用“身高”代替“眼高”,导致误差较大.【模型检验与应用】根据建筑物的实际高度和测量高度进行比较,即可得知采用的测量方法是否合适.利用测量学校教学楼的方法还可以测量一些其他建筑物或旗杆的高度,为今后学生测量其他物品提供了参考依据和理论基础.
【数学建模论文的写作方法】数学建模论文的组成部分一、题目题目是一篇文章的身份证,一篇文章的第一印象来自于其题目.题目中应该包含的信息:1.论文研究什么问题.2.大致用什么方法或什么模型(最好突出自己创新的部分).3.一个推荐的题目形式:《基于**理论(模型、算法、方案)的**问题的求解》
二、摘要摘要是一篇文章的灵魂,看完摘要,一篇文章的研究对象、研究思路、创新点、实践情况、最终结果和自我评价等内容都应当十分清楚.摘要结构:1.综述(所求解的问题,对该问题定性,所使用的模型或基本方法).2.创新点阐释(如果认为自己队伍做这道题目采用的方法很不寻常或者发现了一些其他文献中没有提到的规律,在此重点阐释).3.具体问题的解答(说明在解答中“基于**理论建立了**模型,采用**方法求解,得到了**结果”).要注意连接,最好不要“第一问:……”,而是“首先,针对第一问中提出的**问题”“然后,第二问在第一问的基础上引入了**”“接着,将之前的模型进行**改进即可解答第三问”,大约半页或半页多一些的篇幅.4.对模型的简要评价.
三、关键词关键词主要是为了在论文检索时使用,因此此处写的词应是论文中的核心词,也可以理解为论文中反复提到的一些词.数学建模论文中的关键词一般为3~5个,组成如下:一个重述解决的问题或抽象为理论问题,一个说明使用模型,一个说明算法、创新点或求解方法.四、问题重述问题重述反映对整个问题的理解是否透彻.五、问题分析如果认为自己的想法比较有新意、认为文章偏短或自己的思路在开始写论文时都不是很清晰,就写这一部分.这一部分可以让人较清楚地看到自己的思维过程.
六、模型假设1.模型假设反映了对问题的理解和建立模型的方向,它是对实际问题必要的、合理的简化.2.不要假设题目中明确给出的条件,不要做“假设题目中所给数据属实”一类的假设.3.只写在以后的模型中都会或大部分会用到的假设,如果是只针对某一问的假设,可以在相应问题的模型建立中提出.七、符号说明1.符号说明从一个侧面反映建模倾向,同时考验严谨程度和语言锤炼能力.2.在此只说明之后大部分模型会使用的符号,个别问题中应用的符号可以在相应问题的模型建立中重新说明.
八、模型建立此处是论文的核心,必须严谨对待,主要的公式、理论、模型、图表都在此给出;应占全文一半篇幅,可以采用“问题一模型——模型求解——问题二模型……”的形式,也可以采用“所有模型——各问题的求解结果”的形式.模型的阐述要注意层次和技巧,一般是:1.首先给予**理论.2.建立**模型.3.对所给式子进行解释在阐述已有理论的过程中,如果遇到之前没有学习过的理论,则将自己的理解较详细地阐述.每一个式子都必须解释,解释内容包括变量含义、基于何种理论、有什么物理意义等.可以视其重要程度和复杂度有详有略,但必须解释.
九、模型求解说明求解方法包括以下三种.1.如果求解方程或代数式,则要说明方程中参数如何确定,如果方程比较复杂,还有说明是用什么方法求解的,解的是精确解还是大致走势.2.如果求解优化式子,要说明使用的软件.3.如果有比较大的程序或使用了比较深的算法,应画程序流程图.求解结果是初判建模成果的依据,结果必须详细,一般来说要有关键点的准确数字、图形或表格.
十、结果分析这部分主要是将模型求出的结果运用到实际问题中.1.首先,要根据实际问题大致分析自己解出的结果是否合理.2.然后,对当前现实中的现象做出评价.3.最后,根据模型和结果对实际问题提出建议.十一、模型评价模型评价是自己在建模和求解过程中对自己所建模型的看法,应包括优点和缺点.一般从求解速度、准确度、稳定性等方面进行评价.在写缺点时可以写明必要的理由,如硬件要求无法达到等.
十二、模型改进这部分基本就按照之前在模型评价中的缺点部分提出相应的改进方案.十三、参考文献必须按照固定的格式书写.书籍、论文、网站、报告、会议记录有各自不同的书写格式.
课后练习1.学校操场上的国旗杆要更换,要求新旗杆与旧旗杆一样高.学校决定把测量旧旗杆高度的任务交给我们,为了课下顺利完成测量任务,请同学们设计出一套切实可行的测量方案.
解(方法一)在操场上取一点B,用皮尺测出B到旗杆底C的距离BC=a;在点B用测角仪测出旗杆顶A的仰角α.
(方法二)考虑到测角仪本身有一个高度,因此先量出测角仪的高CD=b,再量出测角仪到旗杆底的距离BD=a,测出点C到旗杆顶A的仰角α.因为四边形CDBE为矩形,所以BE=CD=b,CE=BD=a,在Rt△AEC中,AE=EC·tanα.所以AB=AE+EB=b+a·tanα.
(方法三)知道自己的身高EF为c,用皮尺量出旗杆的影长BC=a,和人的影长FD=b.因为△ABC∽△EFD,
2.若旗杆的底部不能直接到达,中间隔一条河,又该如何测得旗杆的高度呢?
解分别在河的一侧取F,G两点,使旗杆底E点与测角仪底F点与G点三点共线,并测量出FG=a,CE=b,在D,B的仰角分别为β,α,
3.若旗杆不在操场上,而在教学楼顶,又该如何在操场上测得旗杆的高度呢?
解在地面上取一点E,测量出测角仪到教学楼底的距离ED=a,用测角仪分别测出到旗杆顶和教学楼顶的仰角为β与α,所以FC=atanα,AC=atanβ.所以AF=AC-FC=a(tanβ-tanα).
本课结束
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