第二章6.2平面向量在几何、物理中的应用举例
课标要求1.能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题和物理问题.2.掌握用向量解决平面几何问题的方法,培养向量运算能力和推理论证能力.3.通过具体问题的解决,理解用向量知识研究物理问题的一般思路与方法,培养探究意识和应用意识,体会向量的工具作用.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点一向量在几何中的应用由于向量的运算有着鲜明的几何背景,几何图形的许多变化和性质,如平移、全等、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示.名师点睛向量方法可以运用于证明有关直线平行、垂直、线段的相等、点共线、求夹角等问题,其基本方法有:(1)证明线段相等,常运用向量加法的三角形法则与平行四边形法则,有时也用到向量减法的定义.如要证两线段AB=CD,可转化为证明(2)证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平行(共线)的条件:a∥b⇔a=λb(或x1y2-x2y1=0).
(4)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断直线(或线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a·b=0(或x1x2+y1y2=0).(6)向量的坐标表示也可解决一些平面几何问题,如长方形、正方形、直角三角形等,通过建立直角坐标系,把向量用坐标表示,通过代数运算解决几何问题.
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)2.向量可以解决哪些常见的几何问题?××提示(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系.(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题.
知识点二向量在物理中的应用举例1.力与向量力与向量的异同.(1)相同点:力和向量都既要考虑又要考虑.(2)不同点:向量与起点无关,力与作用点有关,大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不同的.2.向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是.(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算,运动的叠加亦用到向量的合成.(3)功可以看作力F与物体在F的方向上所产生的位移s的数量积.大小方向向量
名师点睛向量在物理中的应用(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量,它与前面学习的自由向量不同,在不考虑作用点的情况下,可用向量求和的平行四边形法则,求两个力的合力.(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量,因而可用向量的平行四边形法则,求两个速度的合速度.
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)求力F1和F2的合力时可按照向量加法的平行四边形法则.()(2)力的合成与分解体现了向量的加减法运算.()(3)作用在物体上的作用力与反作用力是一对相反向量.()(4)功是力F与位移s的数量积,力做功一定是正数.()2.向量与力有什么相同点和不同点?√√√×提示向量是既有大小又有方向的量,它们可以有共同的作用点,也可以没有共同的作用点,但是力却是既有大小,又有方向且作用于同一作用点的.用向量知识解决力的问题,往往是把向量起点平移到同一作用点上.
3.向量的运算与速度、加速度及位移有什么联系?提示速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向量的加减法运算,而运动的叠加也用到向量的合成.向量源于物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”.向量在解决涉及上述物理量的合成与分解时,实质就是向量的线性运算.
重难探究•能力素养全提升
探究点一向量在平面几何中的应用角度1平行或共线问题【例1】如图,在平行四边形ABCD中,已知DE=AB,DF=DB,求证:A,E,F三点共线.
规律方法证明A,B,C三点共线的步骤(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线.(2)说明两向量有公共点.(3)下结论,即A,B,C三点共线.
变式训练1如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O,DG⊥BE于点G,DH⊥CF于点H.求证:HG∥EF.
角度2垂直问题【例2】如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF.
规律方法由向量证明平面几何中AB⊥CD的方法
变式训练2如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
角度3长度问题【例3】如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
规律方法在解决求长度的问题时,可利用向量的数量积及模的知识,解题过程中运用整体代入方法可使问题得到简捷、明了的解决.
变式训练3已知△ABC,∠BAC=60°,AB=2,AC=3,则BC的长为()B
角度4夹角问题【例4】已知矩形ABCD,AB=,AD=1,E为DC上靠近D的三等分点,求∠EAC的大小.
规律方法利用平面向量解决几何中的夹角问题,本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解.这类问题也有两种思路,一是利用向量的基求解,二是利用坐标求解.在求解过程中,务必注意向量的方向.
变式探究本例中,条件不变,试问:在BC上是否存在点M,使得∠EAM=45°?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.
探究点二向量在物理中的应用角度1向量的线性运算在物理中的应用【例5】帆船比赛是借助风帆推动船在规定距离内竞速的一项水上运动.如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度为20km/h,此时水的流向是正东,流速为20km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度与方向.解建立如图所示的平面直角坐标系,风的方向为北偏东30°,速度为|v1|=20(km/h),水流的方向为正东,速度为|v2|=20(km/h),设帆船行驶的速度为v,则v=v1+v2.
规律方法运用向量解决物理中的速度问题,一般涉及速度的合成与分解,因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题,正确地作出图形再解决问题.
变式训练4已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为()A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)A解析F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),
角度2向量的数量积在物理中的应用【例6】已知两个力F1和F2,若F1=(1,1),F2=(-3,0),则F1,F2的夹角为.规律方法向量在力学中的应用一般涉及力的合成与分解,应充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题.正确作图是解决该类问题的前提.
变式训练5如图,作用于同一点O的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,已知|F1|=1,|F2|=2,F1与F2的夹角为,求F3的大小.解因为F1,F2,F3三个力处于平衡状态,所以F1+F2+F3=0,即F3=-(F1+F2),
本节要点归纳1.知识清单:(1)向量在几何中的应用;(2)向量在物理中的应用.2.方法归纳:化归与转化、数形结合.3.常见误区:(1)解决几何问题时,要注意选择恰当的一组基,不然容易引起计算的复杂;(2)功的正负问题及与数量积的对应关系.
学以致用•随堂检测全达标
A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形D
2.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为()A.v1-v2B.v1+v2C.|v1|-|v2|D.B解析由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.故选B.
3.已知向量a=(3,4),b=(-3,1),a与b的夹角为θ,则tanθ等于()C
4.已知力F=(2,3)作用在一物体上,使物体从点A(2,0)移动到点B(-2,3),则F对物体所做的功为.1
本课结束
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