第二章第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形
课标要求1.会用正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题.2.会用正弦定理、余弦定理解决与距离、高度、角度有关的实际问题.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点一解三角形与三角形有关的几何计算在三角形的三条边和三个角这6个元素中,如果已知3个(至少含一边长),那么由余弦定理和正弦定理,就可以求得其他3个元素.具体情形如下:情形1已知两个角的大小与一条边的边长.先由三角形内角和等于180°求出第三个角的大小,然后依据正弦定理求得另外两条边的边长.情形2已知两条边的边长及其夹角的大小.先由余弦定理求出第三条边的边长,然后再由余弦定理求得第二、第三个角的大小.
情形3已知三条边的边长.由余弦定理求出两个角,再利用三角形内角和等于180°求出第三个角.情形4已知两条边的边长和其中一边对角的大小.首先,由正弦定理求出第二条边所对角的正弦,这时,要判断是两解、一解还是无解.然后,根据三角形内角和等于180°得到第三个角的大小.最后,由余弦定理或正弦定理求得第三条边的边长.
名师点睛1.应用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题?(1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角.(2)已知三角形的两边与其中一边的对角,求另一边的对角,进而计算出其他的边和角.2.应用余弦定理可以解决哪些解三角形问题?(1)已知三角形的两边及其夹角,求其他的边和角.(2)已知三角形的三边,求三个角.
过关自诊1.在△ABC中,B=60°,AB=3,AC=,则BC的长为()A.2B.1C.1或2D.无解C解析由余弦定理得,整理得,BC2-3BC+2=0,解得BC=1或BC=2.60°或120°
知识点二解三角形的实际应用1.实际测量中的有关名称、术语名称定义图示基线在测量中,根据测量需要适当确定的线段叫作基线仰角在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角
名称定义图示方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°)南偏西60°(指以正南方向为始边,转向目标方向线形成的角)方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
2.距离问题的基本类型及求法类型图形方法两点间不可到达的距离余弦定理两点间可视不可到达的距离正弦定理两个不可到达的点之间的距离先用正弦定理,再用余弦定理
3.高度问题的基本类型及求法类型图形方法底部可达测量BC和∠BCA,解直角三角形求AB底部不可达点B与C,D共线先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值点B与C,D不共线在△BCD中由正弦定理求得BC,再解直角三角形得AB的值
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)与海平面垂直的平面叫作铅垂平面.()(2)仰角是视线与铅垂线的夹角.()(3)高度问题大多通过正(余)弦定理构造直角三角形来解决.()(4)两点间不可到达又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.()(5)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.()√×√√√
2.某同学从家出发,先向东走了1000m,然后向北走了200m,你能用什么方法确定其方位?提示方向角.3.如图,为了在河岸AC处测量河的宽度BC,你能找一个较适宜的方法吗?提示测量b,α,γ,利用正弦定理可求出BC.
重难探究•能力素养全提升
探究点一与解三角形有关的几何计算角度1三角形中线段长度的计算【例1】在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC的长.解在△ABD中,设BD=x,由余弦定理,得BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,即142=x2+102-2·10x·cos60°,整理得x2-10x-96=0,解得x1=16,x2=-6(舍去),所以BD=16.由AD⊥CD,∠BDA=60°,知∠CDB=30°,
规律方法解决此类问题要处理好两个关键点(1)找出含有已知边的三角形,从中筛选出可解三角形.(2)找出要求线段所在的三角形,确定所需条件.解题时二者应结合,明确解题思路.
变式训练1解析由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos45°
角度2证明问题规律方法解决此类问题时,要灵活运用三角形中特有的恒等变形公式、三角形边和角的相互转换公式,主要是正弦定理和余弦定理,因此这类题型都可用不同的途径求解.
变式训练2
探究点二解三角形的实际应用角度1测量距离问题1求可到达点与不可到达点之间的距离问题【例3】如图,一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走,开始在点A处,经观察,在河的对岸有一参照物C,与学生前进方向成30°角,学生前进200m后到达点B处,测得该参照物与前进方向成75°角.(1)求点A与参照物C的距离;(2)求河的宽度.
规律方法1.测量从一个可到达的点与一个不可到达的点之间的距离问题,一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理解决.2.如图,点B为不可到达点,求A,B间的距离的具体解题步骤:(1)取基线AC(尽量长),且使AB,AC不共线;(2)测量AC,A,C;
变式训练3如图所示,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为m.60
解析由题意,得∠ACB=180°-30°-75°=75°,所以△ABC为等腰三角形.因为河宽即边AB上的高,这与边AC上的高相等,过点B作BD⊥AC于点D,所以河宽=BD=120sin30°=60(m).
2求不可到达的两点之间的距离问题【例4】如图,隔河看到两个目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两个目标A,B之间的距离.
规律方法测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是先把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题,再把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题,最后运用正弦定理解决问题.
变式训练4如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上,距离为12海里,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°的方向上,距离为8海里,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°的方向,求:(1)A处与D处的距离;(2)灯塔C与D处的距离.
角度2测量高度问题【例5】如图,为了测量河对岸的塔高AB,选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C,D,测得CD=200m,在点C和点D测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.
规律方法1.在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦定理或余弦定理,构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰角)和一边,如图所示.
2.解决测量高度问题的一般步骤:
变式训练5如图,在山顶铁塔上B处测得一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β.若铁塔高BC为m米,则山高CD为米.
角度3测量角度问题1实际测量中的角度问题【例6】地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向,且距离他40m,之后该测绘人员沿正北方向行走了40m,达到点B.试确定此时目标参照物P相对于他的方位角以及他与目标参照物P的距离.
因为AB=40m,所以AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以∠PBA=120°.因此测绘人员到达点B时,目标参照物P相对于该测绘人员的方位角为180°-120°=60°,且目标参照物P与他的距离为40m.
规律方法解决实际测量中的角度问题的基本步骤(1)找准观测点以及参照物,根据“上北下南,左西右东”确定正北方向;(2)根据题意作出示意图;(3)分析图中的已知量和未知量,标出有关角和线段的大小;(4)利用正弦定理或余弦定理解三角形,求出未知量.
变式训练6如图所示,从点A到点B,方位角是50°,距离是470m;从点B到点C,方位角是80°,距离是860m;从点C到点D,方位角是150°,距离是640m,试计算从点A到点D的方位角和距离.(方位角精确到0.1°,距离精确到1m)
所以∠CAD≈24.3°.所以从A到D的方位角约为50°+19.5°+24.3°=93.8°.即从A到D的方位角约为93.8°,距离约为1531m.
2航海与追及中的角度问题【例7】某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我国海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10nmile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9nmile/h的速度向某小岛靠拢,我国海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.
解如图所示,根据题意可知AC=10,∠ACB=120°.设舰艇靠近渔轮所需的时间为th,并在B处与渔轮相遇,则AB=21t,BC=9t.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°,
规律方法1.本题欲求方位角,先求边长,而要求边长,需先求时间.由于舰艇与渔轮同时在移动,因此相遇点不确定,即舰艇的航向不确定,解题时画图的关键是设出相遇点B,画出可以求解的三角形.2.解决这类问题,首先明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,根据题意画出正确的示意图,将实际问题转化为数学问题,运用正弦定理或余弦定理求解.
本节要点归纳1.知识清单:(1)利用正、余弦定理求解平面几何问题;(2)正、余弦定理与其他知识的综合;(3)利用正、余弦定理证明有关平面几何中的问题;(4)不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案.2.方法归纳:化归转化、数形结合.3.常见误区:(1)方位角是易错点;(2)利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形.
学以致用•随堂检测全达标
1.若P在Q的北偏东44°50'方向上,则Q在P的()A.东偏北45°10'方向上B.北偏东45°50'方向上C.南偏西44°50'方向上D.西偏南45°50'方向上C解析如图所示,点Q在点P的南偏西44°50'方向上.
2.在△ABC中,若AB=,BC=3,C=120°,则AC等于()A.1B.2C.3D.4A解析在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1,故选A.
3.如图,要测出山上一座天文台BC的高,从山腰A处测得AC=60m,天文台最高处B的仰角为45°,天文台底部C的仰角为15°,则天文台BC的高为()B
4.顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”,黄金三角形看起来标准又美观.如图所示,△ABC是黄金三角形,AB=AC,作∠ABC的平分线交AC于点D,易知△BCD也是黄金三角形.若BC=1,则AB=;借助黄金三角形可计算sin234°=.
解析由题可得∠A=∠ABD=∠DBC=36°,∠C=∠BDC=72°,所以△ABC∽△BCD,
5.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得点M的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=45°.已知山高BC=300m,求山高MN.
本课结束
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