北师大版高中数学必修第二册课件2.5.2 向量数量积的坐标表示 利用数量积计算长度与角度

第二章5.2向量数量积的坐标表示5.3利用数量积计算长度与角度 课标要求1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标表示求数量积、模和夹角.2.掌握向量垂直条件的坐标表示,并能灵活运用.3.会利用数量积计算长度与角度. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点一向量数量积的坐标表示数量积的坐标表示:已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.名师点睛数量积的坐标形式的推导在平面直角坐标系中,设i,j分别是x轴和y轴方向上的单位向量,则a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i·i+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j·j.因为i·i=j·j=1,i·j=j·i=0,所以a·b=x1x2+y1y2.x1x2+y1y2 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1y2+x2y1.()(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1y2-x2y1=0.()(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要条件为x1y1-x2y2=0.()2.用向量数量积的坐标表示求数量积的优势是什么?×××提示优势是不需要求向量的模和夹角,直接求数量积,简化了运算. 知识点二向量的模与夹角的坐标表示2.两向量的夹角公式:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2,特别地,a⊥b⇔.x1x2+y1y2=0 名师点睛投影数量的坐标表示 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1y2-x2y1=0.()(3)若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2=0,则向量a与b的夹角为0°.()×√×× 2.两个非零向量的夹角θ满足cosθ>0,夹角θ一定是锐角吗?提示不一定,当两向量同向共线时,cosθ=1>0,但夹角θ=0,不是锐角.提示不一定,因为△ABC为直角三角形,B并不一定是直角,有可能A或C为直角, 重难探究•能力素养全提升 探究点一数量积的坐标运算角度1数量积的基础坐标运算【例1】已知向量a=(-1,2),b=(3,2).(1)求a·(a-b);(2)求(a+b)·(2a-b);(3)若c=(2,1),求(a·b)·c,a·(b·c). 解(1)a·(a-b)=a·a-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.(2)因为a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),所以(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.(3)(a·b)·c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).a·(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16). 角度2数量积的坐标运算在几何图形中的应用5解析以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),M(1,2),N(3,1), 规律方法数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算律和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解. 变式训练1A.-1B.0C.1D.2B 探究点二利用坐标运算解决模的问题【例3】已知向量a=(1,2),b=(3,-1).(1)求|a-2b|;(2)求与a垂直的单位向量;(3)求与b平行的单位向量. 规律方法1.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a·a,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的运算.2.与已知向量垂直或平行的单位向量 变式训练2若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为()C解析因为a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),所以a+b=(2x-1,3-x)+(1-x,2x-1)=(x,x+2), 探究点三利用坐标运算解决夹角与垂直问题【例4】已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b与c;(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小. 解(1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12.因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.故b=(9,12),c=(4,-3).(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).设m,n的夹角为θ, 规律方法解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|,再cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时,应注意角θ的取值范围是[0,π].(2)由于0≤θ≤π,利用cosθ=来判断角θ时,要注意cosθ0也有两种情况,一是θ为锐角,二是θ=0. 变式探究本例中,其他条件不变,若向量d=(2,1),且c+td与d的夹角为45°,求实数t的值.解由已知得c=(4,-3),所以c+td=(4,-3)+t(2,1)=(2t+4,t-3), 探究点四向量的坐标运算在平面几何中的应用【例5】如图,已知在直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中点,用向量的方法证明D,M,B三点共线. 证明如图,以点E为坐标原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 规律方法向量几何法和坐标法是解决此类问题的基本方法,在直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形、直角梯形等特殊图形中,利用建立直角坐标系,转化为坐标运算较为简单. 变式训练3已知在直角三角形ABC中,A为直角,AB=1,BC=2,若AM是BC边上的高,点P在△ABC内部或边界上运动,求的取值范围. 本节要点归纳1.知识清单:(1)平面向量数量积的坐标表示;(2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a,b为非零向量);2.方法归纳:转化与化归.3.常见误区:两个向量夹角的余弦公式易记错;a⊥b与a∥b的坐标形式的充要条件易混淆. 学以致用•随堂检测全达标 1.已知a=(3,4),b=(-2,-1),则(a-b)·(a+2b)等于()A.5B.10C.15D.20A解析(a-b)·(a+2b)=(5,5)·(-1,2)=-1×5+2×5=5.2.已知向量a=(4,6),-a+b=(1,2),则|b|=()D 3.已知向量a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为()B 4.若平面向量a=(1,-2)与b的夹角是180°,且|b|=3,则b等于()A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)A又λ