北师大版高中数学必修第二册课件2.4.2 平面向量及运算的坐标表示

第二章4.2平面向量及运算的坐标表示 课标要求1.理解平面向量坐标的概念,会求平面向量的坐标.2.掌握平面向量的坐标运算法则,会进行坐标运算.3.掌握用坐标表示两向量共线的条件,能运用两向量共线的条件解决相关问题. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点一平面向量的坐标表示如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为.对于坐标平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作唯一性因此,a=xi+yj.我们把(x,y)称为向量a在标准正交基{i,j}下的坐标,向量a可以表示为a=(x,y).标准正交基 名师点睛1.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.2.向量与坐标的关系:3.向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同. 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)任意一个确定的向量的坐标是唯一的.()(2)与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量坐标分别为i=(1,0),j=(0,1).()(3)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.()(4)相等向量的坐标相同.()(5)向量的平移会影响向量的坐标.()2.平面内的一个向量a,其坐标是唯一的吗?√√√√×提示由平面向量的坐标表示可知.平面内的一个向量a的坐标是唯一. 4.正交分解与平面向量基本定理有何联系?提示正确.对于以原点为起点的向量,其终点坐标与向量的坐标表示相同.提示正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基中的两个向量互相垂直). 知识点二平面向量运算的坐标表示1.加法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=,即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.2.减法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=,即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.3.数乘:设a=(x1,y1),λ∈R,则λa=,即实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积.4.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=,即一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.5.中点坐标公式:若点A(x1,y1),点B(x2,y2),线段AB的中点M的坐标为(x,y),则(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(x2-x1,y2-y1) 名师点睛1.进行平面向量的坐标运算时,应先将平面向量用坐标的形式表示出来,再根据向量的坐标运算规则进行计算.2.进行平面向量坐标运算时,先掌握向量坐标与向量起点、终点坐标的关系. 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若a=(1,2),b=(-2,-1),则2a+b=(0,3).()(2)在平面直角坐标系内,若A(x1,y1),B(x2,y2),则向量=(x1-x2,y1-y2).()A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)√×D 3.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb,则m+n=.7解析p=ma+nb=m(2,-3)+n(1,2)=(2m+n,-3m+2n)=(9,4), 知识点三平面向量平行的坐标表示在平面直角坐标系中,a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a,b(b≠0)共线的充要条件是.名师点睛1.相等向量的坐标是相同的,但是两个相等向量的起点、终点的坐标可以不同.2.若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例,反之也成立.x1y2-x2y1=0 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y1-x2y2=0.()2.已知向量a=(1,1),b=(x2,x+2),若a,b共线,则实数x的值为()A.-1B.2C.1或-2D.-1或2××D解析由题意知1·(x+2)-x2·1=0,即x2-x-2=0,解得x=-1或x=2. 重难探究•能力素养全提升 探究点一求平面向量的坐标【例1】(1)设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,求a+b与a-b的坐标.(2)已知△ABC的三个顶点分别是A(4,6),B(7,6),C(1,8),D为BC的中点,解(1)因为a=3i+4j,b=-i+j,所以a+b=(3i+4j)+(-i+j)=2i+5j,a-b=(3i+4j)-(-i+j)=4i+3j.又i=(1,0),j=(0,1),所以a+b与a-b的坐标分别是(2,5),(4,3).(2)因为B(7,6),C(1,8), 规律方法1.若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标为(x,y).2.向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标,只有当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.3.求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算. 变式训练1如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,求:(1)向量a,b的坐标;(2)向量的坐标;(3)点B的坐标. 解(1)如图,作AM⊥x轴于点M, 探究点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求a+3b,3a-2b+c;(2)已知平面上三个点A(4,6),B(7,5),C(1,8),解(1)因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10), 规律方法进行平面向量的坐标运算时,应先将向量用坐标表示出来.一般地,已知向量起点和终点的坐标,可以求出该向量的坐标.求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的向量的坐标. 变式训练2(1)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c等于()A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3bB解析设c=ma+nb,则(4,2)=m(1,1)+n(-1,1)=(m-n,m+n), 探究点三平面向量平行的条件及应用【例3】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向? 解(方法一)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).当ka+b与a-3b平行时,存在唯一的实数λ,使ka+b=λ(a-3b),即(k-3,2k+2)=λ(10,-4), (方法二)由方法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4).∵ka+b与a-3b平行, 规律方法1.由向量共线求参数值的方法:2.a∥b(b≠0)的充要条件有两种表达方式:(1)a∥b⇔a=λb(λ∈R);(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 变式训练3已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),判断是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反? 本节要点归纳1.知识清单:(1)平面向量的坐标表示;(2)平面向量的加、减、数乘运算的坐标表示;(3)两个向量共线的坐标表示.2.方法归纳:转化与化归.3.常见误区:两个向量共线的坐标表示的公式易记错. 学以致用•随堂检测全达标 1.若向量a=(1,-3),b=(3,-8),则2(a-b)=()A.(-4,10)B.(-2,5)C.(4,5)D.(8,10)A解析因为a=(1,-3),b=(3,-8),所以2(a-b)=2(-2,5)=(-4,10).故选A.A.(-2,-4)B.(2,4)C.(6,10)D.(-6,-10)A D (0,4) 本课结束