北师大版高中数学必修第二册课件2.4.1 平面向量基本定理

第二章4.1平面向量基本定理 课标要求1.理解基、正交分解、标准正交基的概念,并能判断两个向量是否是平面上的一组基.2.掌握平面向量基本定理.3.能运用平面向量基本定理和向量的线性运算解决有关问题. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在的一对实数λ1,λ2,使a=.我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基,记为{e1,e2}.若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为.在正交基下向量的线性表示称为.若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为.名师点睛1.0不能与另外一个向量构成一组基,因为0与任一向量共线.2.平面向量的基不是唯一的.同一平面内的任意两个不共线的向量都可以作为一组基.这组基一旦确定,平面内任何向量都可以用这一组基唯一表示.唯一λ1e1+λ2e2正交基正交分解标准正交基 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基.()(2)平面向量基本定理中基的选取是唯一的.()(3)若e1,e2不共线,则2e1与3e2也可作为一组基.()(4)若e1,e2是同一平面内两个不共线向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.()2.两个单位向量能作为一组基吗?3.如果非零向量e1,e2共线,那么非零向量a能否用e1,e2表示?为什么?××√√提示不共线的两个单位向量能作为一组基.提示不一定,当a与e1,e2共线时可以表示,否则不能表示. 重难探究•能力素养全提升 探究点一对平面向量基本定理的理解【例1】给出下列说法:①若向量e1,e2不共线,则空间中的任一向量a均可表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R);②若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2线性表示;③若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式.其中不正确的说法的序号是.规律方法平面向量基本定理是指平面内任一向量均可用平面内两个不共线的向量线性表示,且表示方法是唯一的.①②③ 变式训练1已知{a,b}是一组基,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y=.3解析因为{a,b}是一组基,所以a与b不共线, 探究点二用基表示向量 规律方法用一组基表示向量的注意事项平面内任一向量都可用一组基来表示,在表示过程中,主要结合向量的线性运算完成这种向量表示.注意以下几点:(1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基;(2)注意平面向量基本定理的应用;(3)注意a,b不共线,则0=0×a+0×b是唯一的;(4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系;(5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系,也是常用技巧. 变式探究将本例中“M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“M是AB上靠近A的一个三等分点”,“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“N为OA的中点”,求BP∶PN的值. 探究点三平面向量基本定理的应用【例3】在△ABC中, 于是M,C,E三点共线,即点M在中线CE上,且是靠近AB边中点的一个三等分点,因此,M是△ABC的重心. 规律方法在平面几何中,中线、重心等与向量的关系非常重要,一些结论的用处非常广泛,须熟记.例如,在△ABC中,若点M是重心,AD,BE,CF是三条中线,则下列结论都是成立的: 变式训练2如图,在▱ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若,其中λ,μ∈R,则λ+μ=. 本节要点归纳1.知识清单:(1)平面向量基本定理;(2)用基表示向量;(3)平面向量基本定理的应用.2.方法归纳:列方程(组).3.常见误区:必须是不共线的两个向量才能构成一组基. 学以致用•随堂检测全达标 1.设{e1,e2}是平面内所有向量的一组基,则下列四组向量中不能作为基的是()A.e1+2e2和e1-e2B.4e1+2e2和2e2-4e1C.e1-2e2和4e2-2e1D.2e1+e2和e1+2e2C解析作基的两个向量一定不共线,A,B,D中不存在实数λ,使e1+2e2=λ(e1-e2),4e1+2e2=λ(2e2-4e1),2e1+e2=λ(e1+2e2),故可以作基;C中,4e2-2e1=-2(e1-2e2),即存在λ=-2,故它们共线,不能作为基.故选C. B B 4.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(2x-3y)e1+(3x-4y)e2=6e1+3e2,则x=,y=.-15-12解析∵向量e1,e2不共线, 本课结束