第二章1.1位移、速度、力与向量的概念1.2向量的基本关系
课标要求1.了解位移、速度和力等向量的实际背景,初步认识现实生活中向量和数量的区别.2.理解平面向量的概念,掌握向量的模、零向量、单位向量、相等向量、平行(共线)向量、相反向量等概念.3.掌握平面向量的表示方法.4.了解向量的夹角.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点一向量的背景及向量的概念与表示1.向量的背景及向量的概念(1)位移、速度和力这些物理量都是既有大小又有方向的量.(2)向量:既有大小又有方向的量统称为向量.向量可平移,为自由向量(3)数量:那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、长度、体重、面积、体积等).(4)有向线段:在物理学中,位移、速度和力通常用一条带箭头的线段表示,箭头表示这些量的方向,线段长度表示这些量的大小.在数学中,这种具有方向和长度的线段称为.(如图)以A为起点,B为终点的有向线段,有向线段
2.向量的表示方法(1)几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.(2)字母表示:向量也可以用黑斜体小写字母如a,b,c,…或…(书写)来表示.3.有关概念(1)向量a的大小,记作|a|,又称作.(2)长度为0的向量称为,记作0或.任何方向都可以作为零向量的方向.(3)模等于1个单位长度的向量称为.向量的模零向量单位向量
名师点睛1.由于向量不仅有大小,而且有方向,故向量不能比较大小,向量的模是一个非负实数,因此向量的模可以比较大小.2.零向量的长度为零,但方向不确定,是任意的.由于零向量的特殊性,解答问题时,要看清是零向量还是非零向量.
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)向量的两个要素是大小与方向.()(2)加速度不是向量.()(3)向量可以用有向线段来表示.()(4)向量的模与向量都可以比较大小.()2.向量与数量有什么联系和区别?√×√×提示联系是向量与数量都是有大小的量;区别是向量有方向且不能比较大小,数量无方向且能比较大小.
3.有向线段就是向量,向量就是有向线段吗?4.零向量的方向是什么?两个单位向量的方向相同吗?提示有向线段是一个几何图形,是向量的直观表示.因此,有向线段与向量是完全不同的两个概念.提示零向量的方向是任意的.两个单位向量的方向不一定相同.
知识点二相等向量与共线向量1.相等向量是指它们的长度相等且方向相同.向量a与b相等,记作a=b.2.共线向量:若两个非零向量a,b的方向相同或相反,则称这两个向量为共线向量或平行向量,也称这两个向量共线或平行,记作a∥b.两种说法是一样的两个向量共线或平行,是指表示这两个向量的有向线段所在的直线重合或平行.3.相反向量:若两个向量的长度相等、方向相反,则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量.若其中一个向量为a,则它的相反向量记作-a.4.规定零向量与任一向量共线,即对于任意的向量a,都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量.
名师点睛1.共线向量(1)向量共线时,向量所在的直线平行或重合.(2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义,共线向量有四种情况:方向相同且模相等;方向相同但模不相等;方向相反且模相等;方向相反但模不相等.(3)如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.(4)任一向量都与它本身是共线向量.
2.相等向量(1)两个向量只有当它们的模相等,且方向相同时,才能称它们相等,例如a=b就意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同.(2)任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关,只有大小和方向两个要素.(3)向量是可以平行移动的,用有向线段表示向量时,可任意选择起点,即任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.(4)在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.相等向量是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若a=b,b=c,则a=c.()(3)向量的模是一个正实数.()2.单位向量是相等向量吗?√××提示方向相同的单位向量是相等向量;方向不相同的单位向量不是相等向量.提示A,B,C,D可能共线也可能AB∥CD.
知识点三向量的夹角1.定义:已知两个非零向量a和b,如图,在平面内选一点O,作,则θ=∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角.两个向量同起点当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b.2.规定零向量可与任一向量垂直,即对于任意的向量a,都有0⊥a.
对向量的夹角的理解(1)向量夹角的几何表示.依据向量夹角的定义,两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点,这样它们所成的角才是两个向量的夹角.如图①②③④⑤,已知两向量a,b,作,则∠AOB为a与b的夹角.
(2)注意事项.①向量的夹角是针对非零向量定义的;②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分别是[0,π]和.
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)两个向量的夹角为锐角或直角.()(3)零向量与任一向量既平行又垂直.()××√
2.试指出图中向量的夹角.θ0°180°θ
重难探究•能力素养全提升
探究点一向量的有关概念【例1】给出以下说法:①若|a|=0,则a为零向量;②单位向量都相等;③若a与b共线,则a与b的方向相同或相反;④向量的模一定是正数;⑤起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量;其中正确说法的序号是.①⑤
解析①正确,模等于0的向量是零向量;②错误,单位向量模都相等,但方向不一定相同,因此,单位向量不一定相等;③错误,由于零向量与任一向量共线,且方向是任意的,因此,当a与b共线且其中有一个零向量时,它们的方向不一定相同或相反;④错误,向量的模是非负实数,可能是零;⑤正确,对于一个向量只要不改变其模的大小和方向,是可以任意移动的,因此相等向量可以起点不同;⑥错误,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量必须在同一直线上.
规律方法向量及其相关概念的注意事项(1)区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关.(2)明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素,即起点、方向、长度,只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段;但决定向量的要素只有大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关.(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来规定的.(4)平行向量也叫共线向量,当两个共线向量的方向相同且模相等时,两个向量为相等向量.
变式训练1下列说法正确的是()A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.向量的模可以比较大小C.模为1的向量都是相等向量D.由于零向量的方向不确定,因此零向量不能与任意向量平行B解析向量不能比较大小,故A错误;向量的模是一个数量,可以比较大小,故B正确;相等向量不但模相等,方向也相同,故C错误;规定零向量与任意向量平行,故D错误.
探究点二向量的表示【例2】一辆汽车从点A出发向正西方向行驶了100km到达点B,然后又改变方向向北偏西40°行驶了200km到达点C,最后又改变方向,向正东行驶了100km到达点D.
规律方法1.作平面向量时既要考虑向量的大小,又要考虑其方向和起点,必要时可以建立坐标系辅助作图.2.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的模的大小确定向量的终点.
变式训练2在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺画出下列向量:
解(1)因为点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.
探究点三相等向量与共线(平行)向量【例3】(1)如图,D,E,F分别是△ABC各边上的中点,四边形BCMF是平行四边形,则与向量模相等且共线的向量的个数是.7
(2)O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在如图所示的向量中:
规律方法相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是与已知向量方向相同的向量.(2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
变式训练3如图,已知四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,.求证:CNMA.所以AN=MC,且AN∥MC,所以四边形AMCN是平行四边形,从而CN=MA,且CN∥MA,即CNMA.
探究点四向量的夹角【例4】如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心.
规律方法求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合,作两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤求出.
变式训练4A.30°B.60°C.120°D.150°C
探究点五用向量关系研究几何图形的性质
规律方法利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法(1)证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度(模)相等.(2)证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不重合.
变式训练5已知在四边形ABCD中,的夹角为120°,判断四边形ABCD的形状.
本节要点归纳1.知识清单:(1)向量的概念及表示;(2)向量的相关概念:零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量),向量的夹角.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:零向量和单位向量的方向容易混淆;容易忽视两个向量夹角定义中的同起点.
学以致用•随堂检测全达标
1.下列说法正确的是()A.若|a|=|b|,则a=bC.若a∥b,b∥c,则a∥cD.若a=b,b=c,则a=cD解析对于A选项,若|a|=|b|,但a,b方向不相同时,a≠b,A选项错误;对于B选项,若点A,B,C,D四点共线且,则点A,B,C,D无法构成四边形,B选项错误;对于C选项,取b=0,虽然有a∥b,b∥c,但a,c不一定平行,C选项错误;对于D选项,若a=b,b=c,则a=c,D选项正确.故选D.
2.如图,D,E,F分别是等边三角形ABC各边的中点,则下列结论成立的是()B
A.45°B.60°C.90°D.120°4.零向量与单位向量的关系是(填“共线”“相等”或“无关”).B共线解析零向量与任意向量共线.
本课结束
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