第一章6.1探究ω对y=sinωx的图象的影响6.2探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响6.3探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
课标要求1.掌握y=sinx与y=sinωx,y=sin(ωx+φ),y=Asin(ωx+φ)(A>0且A≠1,ω>0且ω≠1,φ≠0,x∈R)的图象间的关系,会进行函数图象的变换.2.会用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象,明确A,ω,φ的物理意义.3.掌握研究函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的性质的基本方法,会研究其性质.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点一三角函数的图象变换1.左、右伸缩变换函数y=sinωx的图象是将函数y=sinx图象上所有的点的缩短到原来的(当ω>1时)或伸长(当01时)或缩短(当00)中,参数A,ω,φ,b的变化引起图象的变换:A的变化引起图象中振幅的变换,即纵向伸缩变换;ω的变化引起周期的变换,即横向伸缩变换;φ的变化引起左右平移变换;b的变化引起上下平移变换.图象平移遵循的规律为“左加右减,上加下减”.
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(2)把函数y=sinx的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y=sin3x的图象.()(3)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.()2.若ω>0,由函数y=sin(ωx+φ)的图象通过怎样的变换能得到y=sinωx的图象?×××提示函数y=sinωx的图象可以看作将函数y=sin(ωx+φ)的图象上所有点向右(φ>0)或向左(φ0)中,ω决定了函数的周期,T=是函数y=sinωx的最小正周期,通常称周期的倒数为.2.在函数y=sin(ωx+φ)中,φ决定了时的函数值,通常称φ为,ωx+φ为.3.在函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)中,A决定了函数y=Asin(ωx+φ)的以及函数的和,通常称A为.频率x=0初相相位值域最大值最小值振幅
名师点睛1.A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的影响.(1)A越大,函数图象的最大值越大,最大值与A是正比例关系.(2)ω越大,函数图象的周期越小,ω越小,函数图象的周期越大,周期与ω为反比例关系.(3)φ大于0时,函数图象向左平移,φ小于0时,函数图象向右平移,即“左加右减”.2.当A0,x∈R)的性质1.定义域:.2.值域:.3.周期:周期函数,最小正周期T=.4.奇偶性:当时,函数y=Asin(ωx+φ)是奇函数;当φ=时,函数y=Asin(ωx+φ)是偶函数;当φ≠时,函数y=Asin(ωx+φ)既不是奇函数,也不是偶函数.R[-A,A]φ=kπ,k∈Z
名师点睛1.一般情况下,ω的值是唯一确定的,但φ的值是不确定的,它有无数个.如果求出的φ值不在指定范围内,可以通过加减的整数倍达到目的.2.正弦函数、余弦函数的两个相邻的对称中心、两条相邻的对称轴之间的距离并不是函数的一个周期,而是半个周期.
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)√√××
则该函数的最大值为2+1=3,最小值为-2+1=-1.
知识点四函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)确定函数的最小正周期T=.(2)令ωx+φ分别等于,,,,,确定该函数的五个关键点.列表如下:ωx+φ0π2πxy0A0-A00π2π
这五个点为其中P1,P3,P5均为零点(图象与x轴的交点),P2是最大值点,P4是最小值点.
(3)描点连线,作出函数在一个周期上的图象,再向左、右无限扩展,得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象.名师点睛由y=sinx变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的方法(1)先平移后伸缩:
(2)先伸缩后平移:
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)×××√
重难探究•能力素养全提升
探究点一正弦函数、余弦函数的图象变换角度1伸缩变换(纵坐标不变)得到的图象的函数解析式为.规律方法对于函数y=sinx,若横坐标伸长为原来的ω(ω>1)倍,则得到函数y=sin,若纵坐标伸长为原来的A(A>1)倍,则得到函数y=Asinx,两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换,纵向伸缩是正比例伸缩变换.
变式探究若将本例中“横坐标缩短为原来的”改为“纵坐标伸长为原来的5倍”,其他条件不变,则得到的函数解析式为.
角度2平移变换【例2】函数y=sin的图象可以看作是由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到的?规律方法对平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同,则先化为同名函数,再观察x前的系数,当x前的系数不为1时,应提取系数确定平移的单位和方向,方向遵循左加右减,且从ωx→ωx+φ的平移量为个单位长度.
变式探究
角度3图象变换的综合应用
规律方法1.已知变换途径及变换后的函数解析式,求变换前函数图象的解析式,宜采用逆变换的方法.2.已知函数f(x)图象的伸缩变换情况,求变换前后图象的解析式,要明确伸缩的方向及量,然后确定出A或ω即可.
变式训练1
解(方法一)①把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sinx的图象;
探究点二用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象解列表.
描点、连线成图(如图).利用函数的周期性,可以把上述简图向左、右扩展,
规律方法“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象的实质和步骤(1)实质:利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.(2)步骤:第一步,列表.第二步,在同一坐标系中描出各点.第三步,用光滑曲线顺次连接这些点,得到图象.
变式训练2用“五点法”作函数y=2sin+3的图象,并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间.解列表.
探究点三函数y=Asin(ωx+φ)的性质的应用【例5】已知函数f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈R,0
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