北师大版高中数学必修第二册课件1.8 三角函数的简单应用

第一章8三角函数的简单应用 课标要求1.了解常见的三角函数模型.2.初步体会利用三角函数研究简单的实际问题.3.通过对三角函数模型的简单应用的学习,初步学会由图象求函数解析式的方法. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点解答三角函数应用题的基本步骤解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步:审题、建模、解模、回归实际问题.(1)审题:审题是解题的基础,它包括阅读理解、翻译、挖掘等,通过阅读,真正理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质,初步预测所属数学模型.有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语,要仔细阅读,准确把握,同时,注意挖掘一些隐含条件.(2)建模:在细心阅读与深入理解题意的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系,建立三角函数模型.这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题的要求,这样便将实际问题转化成了数学问题. (3)解模:运用三角函数的有关公式进行推理、运算,使问题得到解决.(4)回归实际问题:应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学科学,又要符合实际背景,因此,对于解出的结果要代入原问题中进行检验. 名师点睛1.三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用. 2.三角函数模型的三种模式在现实生活中,许多变化的现象都具有周期性,因此,可以用三角函数模型来描述.如气象方面有温度的变化,天文学方面有白昼时间的变化,物理学方面有各种各样的振动波,生理方面有人的情绪、智力、体力的变化等.研究这些应用问题,主要有以下三种模式:①给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题;②给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数解析式,再解决其他问题;③搜集一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数解析式,进一步用函数性质来解决相应的实际问题. 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0)的最大值为A+B.()(3)单摆运动近似满足三角函数模型.()√×√ 2.一根长为l(单位:cm)的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系式是s=3cos,其中g是重力加速度,试求出小球摆动的周期是1s时对应的线长l. 重难探究•能力素养全提升 探究点一已知三角函数解析式解决实际问题【例1】心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:(1)求函数p(t)的周期;(2)求此人每分钟心跳的次数;(3)画出函数p(t)的草图;(4)求出此人的血压在血压计上的读数. (3)列表:描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示:(4)由图可知此人的收缩压为140mmHg,舒张压为90mmHg. 规律方法用建模方法解决函数图象与解析式问题解决此类问题的关键是将实际意义与函数模型y=Asin(ωx+φ)的性质相结合,转化为数学问题再解决. 变式训练1某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示,且满足y=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,φ0,ω>0).(1)求这段时间的最大温差;(2)写出这段曲线的一个函数解析式;(3)请预测16时的温度(精确到1℃). 解(1)由题图知,这段时间的最大温差是30-10=20(℃).(2)因为题图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的半个周期的图象. (3)根据(2)中得出的解析式知,当x=16时,y=20+5≈27,即16时的温度约为27℃. 探究点三建立三角函数模型解决实际问题【例3】如图为一辆观览车示意图,该观览车半径为4.8m,圆上最低点与地面的距离为0.8m,60s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面的距离为hm.(1)求h(单位:m)与θ(单位:rad)之间的函数解析式;(2)设从OA开始转动,经过ts到达OB,求h(单位:m)与t(单位:s)之间的函数解析式. 解(1)由题意作图,如图所示,过点O作与地面平行的线段ON交☉O于点N,过点B作ON的垂线BM,交ON于点M, 规律方法解三角函数应用问题的基本步骤 变式训练3已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:t/h03691215182124y/m1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b.(1)根据以上数据,求函数y=Acosωt+b的最小正周期T,振幅A及函数解析式;(2)依据规定,当海浪高度高于1.25m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内有多少时间可供冲浪者进行运动. (2)由题意知,当y>1.25时才可对冲浪者开放,即12k-2