北师大版高中数学必修第二册课件1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

第一章4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课标要求1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义.2.会求任意角的正弦函数值、余弦函数值.3.能结合单位圆理解正弦函数、余弦函数的基本性质,会求一些简单的函数的性质.4.掌握任意角的正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点一任意角的正弦函数和余弦函数1.单位圆:以单位长度为半径的圆称为单位圆. 2.单位圆中任意角的正弦函数和余弦函数的定义:给定任意角α,作单位圆,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值,记作v=sinα;把点P的横坐标u定义为角α的余弦值,记作u=cosα.单位圆是前提条件正弦v=sinα、余弦u=cosα分别是以角α的大小为自变量,以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数,其定义域为全体实数,其值域为实数的子集合.3.设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则,其中r=. 名师点睛对正弦函数和余弦函数定义的理解(1)正弦函数和余弦函数都是函数,它们满足函数的定义,可以看成是从角(弧度制)的集合到一个比值的集合的对应.(2)正弦函数和余弦函数是用单位圆来定义的,所以正弦函数和余弦函数的定义域是实数集R.(3)正弦函数和余弦函数是一个比值,也是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α的终边位置决定,即正弦函数值和余弦函数值的大小只与角有关. 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(2)终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等.()(3)终边落在y轴上的角的正弦函数值为0.()2.正弦函数值、余弦函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关?√√×提示正弦函数值、余弦函数值是比值,是一个实数,它的大小与点P在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关. 知识点二正弦函数、余弦函数的基本性质根据正弦函数v=sinx和余弦函数u=cosx的定义,不难看出它们具有以下基本性质:(1)定义域都是;(2)最大值都是,最小值都是,值域都是;(3)它们都是周期函数,其周期都是,最小正周期都是;(4)正弦函数v=sinx在区间上单调递增,在区间上单调递减;余弦函数u=cosx在区间上单调递增,在区间上单调递减.R1-1[-1,1]2kπ(k∈Z,且k≠0)2π[2kπ-π,2kπ],k∈Z[2kπ,2kπ+π],k∈Z 名师点睛正弦函数值和余弦函数值都具有周期性,即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现一次,这说明了角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系,即如果给定一个角,它的正弦函数值和余弦函数值只要存在就是唯一的;反过来,如果给定一个正弦函数值或余弦函数值,却有无穷多个角与之对应. 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)对于任意角α,sinα,cosα都有意义.()(2)余弦函数y=cosx在区间[0,π]上是减函数.()(3)存在实数x,使得sinx=-.()2.能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调递增的?√√×提示不能,右半圆可以表示无数个区间, 知识点三正弦函数值和余弦函数值的符号正弦函数值和余弦函数值的符号是根据正弦函数和余弦函数定义和各象限内的坐标符号确定的.正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号;余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号.正弦函数值、余弦函数值在每个象限的符号如图所示. 名师点睛类型第一象限第二象限第三象限第四象限sinα++--cosα+--+ 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若角α为第三象限角,则sinα和cosα的值均为负数.()(2)sin5>0,cos40,则α为第一或第二象限角.()(4)若sinα·cosα0,则为第几象限角?√××× 3.若三角形的两内角α,β满足sinα·cosβ