北师大版高中数学必修第二册课件1.4.3 诱导公式与对称 诱导公式与旋转

第一章4.3诱导公式与对称4.4诱导公式与旋转 课标要求1.借助单位圆理解诱导公式的推导方法.2.理解、掌握并熟记诱导公式.3.能够利用诱导公式解决三角函数的求值、化简与证明问题. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点一特殊角的终边的对称关系1.角-α的终边与角α的终边关于对称;2.角α±π的终边与角α的终边关于对称;3.角π-α的终边与角α的终边关于对称.名师点睛理清角度之间的关系,是学好诱导公式的前提.因此学习正弦函数、余弦函数时,应结合正弦函数、余弦函数的定义,明确角-α,α±π,π-α与角α的终边的对称关系.x轴原点y轴 过关自诊1.(2k+1)π-α(k∈Z)的终边与2kπ+α(k∈Z)的终边有何对称关系?提示(2k+1)π-α=2kπ+π-α(k∈Z)的终边与2kπ+α(k∈Z)的终边关于y轴对称.将问题转化为角π-α与α的终边的关系.2.填空.y轴原点原点 知识点二正弦函数、余弦函数的诱导公式对任意角α,下列关系式均成立(其中k∈Z).sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα.sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα.sin(α+π)=sin(π+α)=-sinα,cos(α+π)=cos(π+α)=-cosα.sin(α-π)=-sinα,cos(α-π)=-cosα.sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα. 通常称上述公式为正弦函数、余弦函数的诱导公式. 名师点睛诱导公式的记忆方法将任意角归纳为k·±α,k∈Z的形式,则诱导公式的记忆方法可概括为“奇变偶不变,符号看象限”:(1)“变”与“不变”是指互余的两个角的正弦函数名、余弦函数名改变. 过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(2)sin(180°-200°)=-sin200°.()(3)若α,β满足α+β=π,则sinα=sinβ.()√×√× 2.正弦函数、余弦函数的诱导公式中角α只能是锐角吗?3.已知角α的终边与单位圆交于点P1(u,v),那么角α-的终边与单位圆的交点P2的坐标是什么?提示正弦函数、余弦函数的诱导公式中角α可以是任意角. 重难探究•能力素养全提升 探究点一给角求值问题【例1】计算:sin2120°+cos180°+tan45°-cos2(-330°)+sin(-210°).解原式=sin260°-cos0°+tan45°-cos230°+sin30°规律方法求值问题中角的转化方法任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0~2π的角的三角函数→锐角三角函数 变式训练1 探究点二给值(式)求值问题【例2】(1)已知sin(π+α)=-0.3,则sin(2π-α)=.-0.3解析(1)∵sin(π+α)=-sinα=-0.3,∴sinα=0.3,∴sin(2π-α)=-sinα=-0.3.规律方法解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系,从而灵活选择诱导公式求解,一般可从两角的和、差的关系入手分析,解题时注意整体思想的运用. 变式探究 探究点三诱导公式的综合应用(2)若α=-1860°,求f(α)的值. 规律方法1.所谓化简,就是使表达式经过某种变形,使结果尽可能得简单,也就是项数尽可能得少,次数尽可能得低,函数的种类尽可能得少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定要求值.2.利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择,当三角函数式中含有kπ±α,π±α(k∈Z)时,要注意讨论k为奇数或偶数. 变式训练2已知sinα=-2cosα,求: 探究点四诱导公式在三角形中的应用解因为A+B+C=π,所以A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B.又B,C为△ABC的内角,所以C=B,所以△ABC为等腰三角形. 规律方法三角形中隐藏的两点内容(1)在△ABC中,有A+B+C=π,,因此在解决三角形中的正弦函数、余弦函数问题时,要注意充分利用诱导公式.(2)在三角形中,当cosC=cosB时,一定有C=B;若sinC=sinB,也一样能得到C=B. 变式训练3在△ABC中,求证:(1)sin(2A+B+C)=-sinA;证明(1)因为A+B+C=π,所以sin(2A+B+C)=sin(π+A)=-sinA,原式成立. 本节要点归纳1.知识清单:(1)特殊角的终边的对称关系;(2)正弦函数、余弦函数的诱导公式;(3)利用正弦函数、余弦函数的诱导公式进行化简、求值与证明.2.方法归纳:公式法、角的构造、数形结合.3.常见误区:函数符号的变化,角与角之间的联系与构造. 学以致用•随堂检测全达标 B 2.已知角α和β的终边关于x轴对称,则下列各式中正确的是()A.sinα=sinβB.sin(α-2π)=sinβC.cosα=cosβD.cos(2π-α)=-cosβC解析由角α和β的终边关于x轴对称,可知β=-α+2kπ(k∈Z),故sinα=-sinβ,cosα=cosβ.故选C. C {2,-2} 本课结束