第一章3.1弧度概念3.2弧度与角度的换算
课标要求1.理解弧度的意义,掌握1弧度的角的定义.2.能进行角度和弧度的换算,熟记特殊角的弧度数.3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积公式,会解决某些简单的实际问题.4.通过学习,理解角度制与弧度制都是度量角的方法,二者是辩证统一的.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点一弧度在单位圆中,把长度等于的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号表示,读作.名师点睛1.1弧度的角与1度的角所指含义不同,大小更不同.2.无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角,角的大小都与“半径”大小无关.3.用“度”作为单位度量角时,“度”或“°”不能省略,而用“弧度”作为单位度量角时,“弧度”或“rad”通常省略不写.1rad弧度
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)大圆中1弧度的角比小圆中1弧度的角大.()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等.()(3)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.()2.如果一个圆不是单位圆,那么1rad的圆心角所对的弧长由什么决定?××√提示圆心角一定,圆心角所对的弧长由半径决定.
知识点二弧度制注意成立的前提条件在单位圆中,每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法,称作.名师点睛1.当圆心角一定时,它所对的弧长与半径的比值是一个确定的值,与所在圆的半径大小无关.2.一般地,弧度与实数一一对应,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.弧度制
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧.()(2)“1弧度的角”的大小与所在圆的半径大小相关.()2.在同一个表达式中,能不能同时出现角度制和弧度制?××提示角度制和弧度制是两种不同的角的度量方法,两者有着本质的不同,因此在同一个表达式中两种度量方法不能混用.
知识点三弧度与角度的换算名师点睛一些特殊角的度数与弧度数的对应表度数0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度数0π度数210°225°240°270°300°315°330°360°—弧度数2π—
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(3)1rad的角比1°的角要大.()2.周角是多少度?是多少弧度?3.半圆所对的圆心角是多少度?是多少弧度?×√√提示360°,2π.提示180°,π.
知识点四弧度制下的三个公式1.弧度数公式:,即圆心角的弧度数的绝对值等于该圆心角所对的弧长与半径之比.2.弧长公式:,即弧长等于所对圆心角的弧度数的绝对值与半径之积.采用角度制时的相应公式为l=|α|r
名师点睛扇形的弧长及面积公式的记忆(1)扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的变形:(2)扇形的面积公式S=lr与三角形的面积公式极为相似,可以把弧长看作底,把半径看作高.
过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)扇形的半径为1cm,圆心角为30°,则扇形的弧长l=|α|r=30×1=30(cm).()(2)一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关.()(3)扇形面积公式S=|α|R2可以适用于角度制.()×√×
2.已知扇形的半径r=30,圆心角α=,则该扇形的弧长等于,面积等于,周长等于.5π75π60+5π
重难探究•能力素养全提升
探究点一弧度制的概念【例1】下列说法错误的是()A.弧度与实数一一对应C.根据弧度的定义,180°等于π弧度D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与所在圆的半径的大小有关D解析无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.
规律方法弧度制与角度制的异同1.用角度制和弧度制度量零角时,单位不同,但数值相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角时,单位不同,数值也不同.2.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省略.
变式训练1下列说法正确的是()A.1弧度是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位D解析弧度是度量角的大小的一种单位,1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小.故选D.
探究点二弧度与角度的换算【例2】(1)把112°30'化成弧度;(2)把rad化成度;(3)将-1485°化成弧度.
规律方法弧度制与角度制换算的关键与方法(1)关键:抓住互化公式πrad=180°.(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
变式训练2下列各角中,与240°角终边相同的角为()C
探究点三用弧度制表示角及其范围【例3】如图所示,用弧度制表示顶点在原点、始边与x轴的非负半轴重合、终边落在阴影部分内的角的集合.
解(1)如题图①所示,以OB为终边的角为330°,与-30°角的终边相同,
规律方法用弧度制表示象限角、轴线角、终边相同的角的方法(1)用弧度制表示象限角的集合如下:
(2)用弧度制表示轴线角的集合如下:终边落在x轴上的角为{α|α=kπ,k∈Z};(3)用弧度制表示终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k∈Z}.
变式训练3终边在坐标轴上的角的集合是,终边在直线y=-x上的角的集合是.
探究点四与扇形弧长、面积有关的问题【例4】(1)已知扇形的周长为8cm,圆心角为2,求该扇形的面积;(2)已知扇形的周长为10cm,面积等于4cm2,求其圆心角的弧度数.解(1)设扇形的半径为rcm,弧长为lcm,由圆心角为2,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8,解得r=2,则l=4.
(2)设圆心角弧度数为α(0
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