北师大版高中数学必修第一册课件1.3.2 第1课时 基本不等式

第一章第1课时 基本不等式 课标要求1.理解基本不等式(a≥0,b≥0).2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.3.能运用基本不等式证明不等式及解决简单的实际问题. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1基本不等式2.基本不等式可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.3.基本不等式的几何解释:同一个半圆中,半径大于或等于半弦.不可忽略此条件 名师点睛 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)×√√2.基本不等式中a,b只能是具体的某个数吗?提示a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式. 知识点2利用基本不等式求最值当x,y均为正数时,下面的命题均成立: 名师点睛1.上述的结论也叫作最值定理.语言描述为:(1)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值;(2)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.可简记为“和定积最大,积定和最小”.2.应用上述结论时要注意以下三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(2)若xy=4,则x+y的最小值为4.()(3)若x>0,y>0,且x+y=2,则2xy的最大值为1.()√×× 2.若x>0,则函数y=x+()A.有最大值-4B.有最小值4C.有最大值-2D.有最小值2答案B 3.已知a,b∈R+,且满足a2+b2=6,则b的最大值为.答案5 重难探究•能力素养全提升 探究点一对基本不等式的理解【例1】下列说法正确的是() 答案B规律方法应用基本不等式时要注意以下三点(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”. 变式训练1下列结论不成立的是()A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5D.若a∈R,则有a2+9≥6a 答案C 探究点二利用基本不等式求最值【例2】已知a>3,求+a的最小值. 规律方法在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用上基本不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的方法(一般是凑和或积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解.如:求形如f(x)=+x+d的最值时,若满足x+b>0,则可考虑将f(x)变形为f(x)=+x+b+(d-b),借助于基本不等式求最值. 变式训练2已知x,y均为正数,且=1,求x+y的最小值. 探究点三利用基本不等式证明不等式 规律方法利用基本不等式证明不等式的注意事项(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有和式或积式,通过将和式转化为积式或将积式转化为和式,从而达到放缩的目的.(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.(4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1”的代换,即把常数1替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明. 变式训练3(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.(2)已知a>0,b>0,且a+b=2,求证:≥2.证明(1)因为a,b,c,d都是正数,当且仅当ab=cd,且ac=bd时,等号成立.故(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. 本节要点归纳1.知识清单:(2)“和定积最大,积定和最小”.2.方法归纳:配凑法,常值代换法.3.常见误区:注意等号成立的条件. 学以致用•随堂检测全达标 答案D 2.已知正数x,y满足=1,则xy有()A.最小值12B.最大值12C.最小值144D.最大值144答案C 3.当且仅当x=时,4x+(x>0)取得最小值. 4.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是. 本课结束