第一章第2课时基本不等式的应用
内容索引01重难探究•能力素养全提升02学以致用•随堂检测全达标
重难探究•能力素养全提升
探究点一利用基本不等式求函数和代数式的最值角度1通过变形后应用基本不等式求最值【例1】求下列函数的最值,并求出相应的x值.
规律方法利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性(在第二章学习).
变式训练1答案D
角度2应用“1”的代换转化为基本不等式求最值【例2】已知正数a,b满足a+b=1,则的最小值为.答案4
规律方法在利用基本不等式求最值时,常用的技巧就是“1”的代换,其目的是借助“1”将所求式子的结构进行调整,优化到能够利用基本不等式求解为止.
变式探究将本例反过来,已知正数a,b满足=4,则a+b的最小值为.答案1
角度3含有多个变量的条件的最值问题【例3】已知正数a,b满足=3,求ab的取值范围.
规律方法含有多个变量的条件最值问题,一般方法是采取减少变量的个数,将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决;如果条件等式中,含有两个变量的和与积的形式,还可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解,或者通过构造一元二次方程,利用根的分布解决问题.
变式探究本例中,若将条件改为“正数a,b满足2a+b+6=ab”,求ab的最小值.
探究点二利用基本不等式解决实际应用中的最值问题【例4】如图,要设计一张矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的长与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告牌面积最小?
即当x=140,y=175时,S取得最小值24500.故当广告牌的宽为140cm,长为175cm时,可使矩形广告牌的面积最小.
规律方法求实际问题中最值的一般思路:(1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式.(2)把实际问题抽象成函数的最值问题.(3)在定义域内,求函数的最值时,一般先考虑用基本不等式,当用基本不等式求最值的条件不具备时,再考虑函数的单调性(单调性在第二章学习).(4)正确写出答案.
变式训练2桑基鱼塘是长三角和珠三角的一种独具地方特色的农业生产形式.某公司打算开发一个桑基鱼塘项目,该公司准备购置一块1800平方米的矩形土地,如图所示,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示),用来种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2米,池塘所占面积为S平方米,其中a∶b=1∶2.(1)试用x,y表示S;(2)若要使S最大,则x,y的值各为多少?
本节要点归纳1.知识清单:(1)“和定积最大,积定和最小”;(2)求解应用题的方法与步骤:①审题,②建模(列式),③解模,④作答.2.方法归纳:配凑法、常值代换法.3.常见误区:缺少等号成立的条件.
学以致用•随堂检测全达标
1.函数y=2x(2-x)(其中00,n>0.
3.设x>0,y>0,x+y=4,则的最小值为.
4.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N+),则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是万元.答案8=8,当且仅当x=5时,等号成立,此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大,最大值为8万元.
5.某企业需要建造一个容积为8立方米,深度为2米的无盖长方体水池,已知池壁的造价为每平方米100元,池底造价为每平方米300元.设水池底面一边长为x米,水池总造价为y元,求y关于x的函数解析式,并求出水池的最低造价.
本课结束
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