第六章本章小结与复习
内容索引0102网络构建归纳整合专题突破素养提升
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
专题一抽样的基本方法1.抽样方法有:简单随机抽样、分层随机抽样.一般地,当总体是由差异明显的几个层组成时选用分层随机抽样,否则考虑用简单随机抽样.选用简单随机抽样时,当总体容量较小时,采用抽签法;当总体容量较大、样本容量较小时,采用随机数法.2.抽样方法的选择与分层随机抽样中的计算是常考查的知识点,提升数学抽象和数学运算的核心素养.
【例1】(1)某中学组织“党史知识竞赛”活动,已知该校共有高中学生2700人,用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动,其中高一年级抽取了16人,则该校高一年级学生人数为()A.1680B.1020C.960D.720
(2)假设要考察某公司生产的袋装牛奶的三聚氰胺是否超标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将800袋牛奶按000,001,…,799进行编号,如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读,则得到的第4个样本个体的编号是.(下面摘取了随机数表第7行至第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954
答案(1)C(2)068所以该校高一年级学生人数为960.(2)由随机数表可以看出前4个样本的个体的编号是331,572,455,068.于是第4个样本个体的编号是068.
规律方法应用各种抽样方法抽样时要注意以下问题:(1)利用抽签法时要注意把号签放在不透明的容器中且搅拌均匀;(2)利用随机数法时注意编号位数要一致;(3)在分层随机抽样中,若在某一层抽到的个体数不是整数,应在该层剔除部分个体,使抽取个体数为整数.
变式训练1(1)下列抽样方法是简单随机抽样的是()A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B.某饮料公司从仓库中的1000箱饮料中一次性抽取20箱进行质量检查C.某连队从200名战士中,挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号,对编号随机抽取)(2)某校为了了解学生学习的情况,采用分层随机抽样的方法从高一1000人,高二1200人,高三n人中抽取81人进行问卷调查,已知高二被抽取的人数为30,那么n=()A.860B.720C.1020D.1040
答案(1)D(2)D解析(1)选项A中,平面直角坐标系中有无数个点,这与要求总体中的个体数有限不相符,故错误;B中,一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点,故错误;C中,50名战士是最优秀的,不符合简单随机抽样的等可能性,故错误.
专题二用样本的频率分布估计总体分布1.频率分布直方图的构成及特征2.掌握频率分布直方图的画法及其应用,重点提升数据分析与逻辑推理的核心素养.
【例2】从某中学参加2021年全国高中数学联赛预赛的500名同学中,随机抽取若干名同学,将他们的成绩制成频率分布表,下面给出了此表中部分数据.(1)根据表中已知数据,分别计算①,②,③处的数值;(2)补全在区间[70,140]上的频率分布直方图;(3)若成绩不低于110分的同学能参加决赛,那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛?
分组频数频率[70,80)0.08[80,90)0.10[90,100)③[100,110)16①[110,120)0.08[120,130)②0.04[130,140]0.02合计50
解(1)由表中数据知,随机抽取了50人,所以①为=0.32,②为50×0.04=2,③为1-0.08-0.1-0.32-0.08-0.04-0.02=0.36.(2)经计算,频率分布表为分组频数频率[70,80)40.080.008[80,90)50.100.010[90,100)180.360.036[100,110)160.320.032[110,120)40.080.008[120,130)20.040.004[130,140]10.020.002合计5010.100
根据频率分布表可补全频率分布直方图:
(3)在随机抽取的50名同学中有4+2+1=7(名)同学成绩不低于110分,可以去参加决赛,故估计参加预赛的同学中能参加决赛的人数大概为500×=70.规律方法与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据,求其他数据,可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系,利用频率和等于1可求出其他数据.(2)已知频率分布直方图,求某种范围内的数据,可利用图形及某范围结合求解.
变式训练2对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计,随机抽取M名学生,得到这M名学生分别参加社区服务的次数,根据此数据作出了频率分布表和频率分布直方图,如图所示:分组频数频率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.05合计M1.00
(1)求表中M,p及图中a的值;(2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数.
(2)因为该校高三学生有240人,分组[10,15)的频率是0.25,所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数为240×0.25=60.
专题三用样本估计总体的数字特征1.为了从整体上更好地把握总体规律,我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势,通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度.2.掌握各个数字特征的意义及应用,重点提升数据分析与数学运算的核心素养.
【例3】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次,数据如下(单位:分):甲9582888193798478乙8375808090859295(1)请你分别计算这两组数据的平均数、中位数.(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪名工人更合适?请说明理由.
①从平均数看,甲、乙均为85分,平均水平相同;②从中位数看,乙的中位数大于甲,乙的成绩好于甲;④从数据特点看,获得85分以上(含85分)的次数,甲有3次,而乙有4次,故乙的成绩好些;⑤从数据的变化趋势看,乙后几次的成绩均高于甲,且呈上升趋势,因此乙更具潜力.综上分析可知,甲的成绩虽然比乙稳定,但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析,乙具有明显优势,所以应派乙参赛更有望取得好成绩.
规律方法用样本的数字特征估计总体的数字特征应注意的问题(1)中位数用来描述数据的中心位置,众数体现了数据的最大集中点,平均数反映样本数据的总体水平.(2)标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)较大,数据的离散程度较大;标准差(方差)较小,数据的离散程度较小.
变式训练3某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品,称其质量(单位:克)是否合格,分别记录抽查数据,获得质量数据如下.甲:107,111,111,113,114,122乙:108,109,110,112,115,124(1)写出甲的众数和乙的中位数;(2)根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差,并说明哪个车间的产品的质量相对稳定.
解(1)甲的众数是111,乙的中位数是111.
专题四样本的百分位数1.一般地,当总体是连续变量时,总体的p(0
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