第七章本章小结与复习
内容索引0102网络构建归纳整合专题突破素养提升
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
专题一频率与概率频率是概率的近似值,是随机的,随着试验的不同而变化;概率是多次的试验中频率的稳定值,是一个常数,不能用一次或少数次试验中的频率来估计概率.
【例1】射手甲中靶的概率是0.9,因此我们认为,即使射手甲比较优秀,他射击10发子弹也不可能全中,其中必有一发不中,试判断这种认识正确与否.解射手甲射击一次,中靶是随机事件,他射击10次可以看作是重复做了10次试验,而每次试验的结果都是随机的,所以10次的结果也是随机的,这10次射击可能一次也不中,也可能中一次、二次、…、甚至十次都中.虽然中靶是随机事件,但却具有一定的规律性,概率为0.9,是说在多次的试验中,中靶的可能性稳定在0.9,实际上,他10发子弹全中的概率为0.910≈0.349,这是有可能发生的.因此题中认识不正确.
规律方法概率与频率的关系随机事件的概率是指在相同的条件下,大量重复进行同一试验,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,我们把这个常数叫作事件A的概率,记作P(A).它反映的是这个事件发生的可能性的大小.一个随机事件的发生既有随机性(对单次试验来说),又有规律性(对大量重复试验来说).其概率一般不好求,但可以用频率来估计.
变式训练1对一批U盘进行抽检,结果如下表:抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率(1)计算表中次品的频率(结果精确到0.001).(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2000个U盘,至少需进货多少个U盘?
解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.040,0.025,0.017,0.020,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘,为保证其中有2000个正品U盘,则x(1-0.020)≥2000,因为x是正整数,所以x≥2041,即至少需进货2041个U盘.
专题二互斥事件与对立事件的概率及应用若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).设事件A的对立事件是,则P(A)=1-P().
【例2】射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如下表:命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该选手射击一次,(1)命中9环或10环的概率;(2)至少命中8环的概率;(3)命中不足8环的概率.解记“射击一次,命中k环”为事件Ak(k=7,8,9,10).(1)因为A9与A10互斥,所以P(A9∪A10)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.(2)记“至少命中8环”为事件B,B=A8+A9+A10,又A8,A9,A10两两互斥,所以P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.(3)记“命中不足8环”为事件C,则事件C与事件B是对立事件,所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.
规律方法互斥事件与对立事件的概率求法运用互斥事件的概率加法公式时,首先要确定各事件是否彼此互斥,如果彼此互斥,分别求出各事件发生的概率,再求和.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和,运用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)求解;二是先求其对立事件的概率,然后再运用公式P(A)=1-P()求解.
变式训练2某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少?(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少?
解(1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N+),那么事件Ak彼此互斥,设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,根据互斥事件概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.(2)由(1)知事件“打进的电话响4声而不被接”是事件“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件,记为.根据对立事件的概率公式,得P()=1-P(A)=1-0.95=0.05.
专题三古典概型古典概型是一种最基本的概率模型,也是学习其他概率模型的基础,在高考题中,经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点,即有限性和等可能性.
【例3】已知函数f(x)=ax2+2bx-1.(1)若a,b都是从集合{1,2,3}中任取的一个数,求函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减的概率;(2)若a是从集合{1,2,3}中任取的一个数,b是从集合{1,2,3,4}中任取的一个数,求方程f(x)=0在区间(-∞,-3)上有实数根的概率.
解(1)记“函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减”为事件A.由于a,b都是从集合{1,2,3}中任取的一个数,则基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9种,
(2)记“方程f(x)=0在区间(-∞,-3)上有实数根”为事件B,由于a是从集合{1,2,3}上任取的一个数,b是从集合{1,2,3,4}上任取的一个数,则基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共12种,由题意知a>0,f(0)=-1,所以方程f(x)=0在区间(-∞,-3)上有实数根,则有f(-3)a的概率为
专题四相互独立事件的概率
【例4】甲乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束,设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各自投篮互不影响.(1)求甲乙各投球一次,比赛结束的概率;(2)求甲获胜的概率.
解设事件Ak表示“甲在第k次投篮投中”,其中k=1,2,3,设事件Bj表示“乙在第j次投篮投中”,其中j=1,2,3,
规律方法相互独立事件概率的求法(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立),正确区分“互斥事件”与“对立事件”.当且仅当事件A和事件B相互独立时,才有P(AB)=P(A)P(B).(2)某些事件若含有较多的互斥事件,可考虑其对立事件的概率,这样可减少运算量,提高准确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化.
变式训练4(1)求三人中恰有一名同学当选的概率;(2)求三人中至多有两人当选的概率.
本课结束
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