北师大版高中数学必修第一册课件7.2 第2课时 互斥事件概率的求法

第七章第2课时 互斥事件概率的求法 课标要求1.理解互斥事件的概率加法公式.2.了解互斥事件与对立事件之间的关系,掌握对立事件的概率公式.3.能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概型的概率计算问题. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1互斥事件的概率加法公式1.定义:在一个试验中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P(A)+P(B),这一公式称为互斥事件的概率加法公式.使用该公式时必须检验是否满足前提条件“两两互斥”.2.推广:一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).名师点睛互斥事件概率加法公式的作用在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解为一些较为简单的并且概率已知或较容易求出的彼此互斥的事件,再利用互斥事件的概率加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功能. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率.()(2)事件A发生的概率为P(A),事件B发生的概率为P(B),那么事件A+B发生的概率为P(A)+P(B).()(3)事件A1∪A2∪…∪An发生即事件A1,A2,…,An中至少有一个发生.()××√2.在同一试验中,对任意两个事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B)一定成立吗?提示不一定.只有A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立. 知识点2对立事件的概率公式名师点睛1.对立事件的概率公式使用的前提是两个事件对立,否则不能使用.2.当一个事件的概率不易直接求出,但其对立事件的概率易求时,可运用对立事件的概率公式,即运用间接法求概率. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)对于任意事件A,总有P(A)+P()=1.()(2)若三个事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1.()√× 2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率为0.42,摸出白球的概率为0.28,那么摸出黑球的概率为()A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7答案C解析由题意知摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3,故选C.3.若事件A与B是对立事件,且P(A)=0.2,则P(B)=.答案0.8解析因为A与B是对立事件,所以P(A)+P(B)=1,即P(B)=1-P(A)=0.8. 重难探究•能力素养全提升 探究点一互斥事件、对立事件的概率求解角度1互斥事件的概率(1)分别求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率;(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率. 解(1)从袋中任取一球,记事件A为“得到红球”,B为“得到黑球”,C为“得到黄球”,D为“得到绿球”,则事件A,B,C,D两两互斥. 规律方法互斥事件的概率的求解策略(1)当一个事件包含几种情况时,可把事件转化为几个互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率的加法公式计算.(2)使用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)时,必须先判断A,B是否为互斥事件. 变式训练1(1)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出红球的概率为()A.0.42B.0.38C.0.2D.0.8(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.2,炸中第二个军火库的概率为0.12,炸中第三个军火库的概率为0.28,三个军火库中,只要炸中一个另两个也会发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率. (1)答案C解析记“摸一个球为红球”“摸一个球为白球”和“摸一个球为黑球”为事件A,B,C,则A,B,C为两两互斥事件,且A+B+C为必然事件,由题意知P(A)+P(B)=0.58,P(A)+P(C)=0.62,P(A)+P(B)+P(C)=1,解得P(A)=0.2.(2)解设A,B,C分别表示炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件,事件D表示军火库爆炸,已知P(A)=0.2,P(B)=0.12,P(C)=0.28.又因为只投掷了一枚炸弹,故不可能炸中两个及以上军火库,所以A,B,C是两两互斥事件,且D=A+B+C,所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.12+0.28=0.6,即军火库发生爆炸的概率为0.6. 角度2对立事件的概率【例2】某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中:(1)射中10环或7环的概率;(2)不够7环的概率.解(1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为A∪B,故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49.所以射中10环或7环的概率为0.49. (2)不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环,但由于这些概率都未知,故不能直接求解,可考虑从反面入手,不够7环的反面为大于等于7环,即7环、8环、9环、10环,由于这两个事件必有一个发生,另一个不发生,故是对立事件.设“不够7环”为事件E,则事件为“射中7环或8环或9环或10环”,又“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”是彼此互斥的事件,所以P()=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,从而P(E)=1-P()=1-0.97=0.03.所以不够7环的概率为0.03. 规律方法公式P(A)=1-P()的应用说明(1)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时,常常使用该公式转化为求其对立事件的概率.(2)该公式的使用实际是运用逆向思维(正难则反),比较适合含有“至多”“至少”“最少”等关键词语型题目. 变式训练2在数学考试中,小明的成绩在[90,100]的概率是0.18,在[80,90)的概率是0.51,在[70,80)的概率是0.15,在[60,70)的概率是0.09,在[0,60)的概率是0.07.计算下列事件的概率:(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩;(2)小明考试及格. 解分别记小明的成绩在[90,100],[80,90),[70,80),[60,70)为事件B,C,D,E,显然这四个事件彼此互斥.(1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.(2)(方法一)小明考试及格的概率是P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.(方法二)因为小明考试不及格的概率是0.07,所以小明考试及格的概率是1-0.07=0.93. 探究点二互斥事件、对立事件与古典概型的综合应用【例3】一个盒子里有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足|a-b|=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率. 解(1)由题意知,(a,b,c)所有的样本点为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27个.设“抽取的卡片上的数字满足|a-b|=c”为事件A,“抽取的卡片上的数字满足a-b=c”为事件B,“抽取的卡片上的数字满足b-a=c”为事件C,则事件B包括 规律方法较复杂的古典概型问题的转化策略(1)设法把一个复杂事件分拆为几个互斥事件,然后求出各事件的概率,用加法公式得出结果.(2)当直接计算复合条件的事件的概率比较麻烦时,可间接地计算出其对立事件的概率,再用对立事件的概率公式求解. 变式训练3一盒中装有大小质地完全相同的小球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出的1球是红球或黑球的概率;(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率. 解记事件A1={取出的1球为红球},A2={取出的1球为黑球},A3={取出的1球为白球},A4={取出的1球为绿球},根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率加法公式,得 本节要点归纳1.知识清单:(1)互斥事件的概率加法公式及应用;(2)对立事件的概率公式及应用.2.方法归纳:转化法.3.常见误区:将事件拆分为若干事件时出现遗漏,导致计算概率错误. 学以致用•随堂检测全达标 1.某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项,已知中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.1,那么本次活动中,中奖的概率为()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.7答案B解析由于中一等奖,中二等奖为互斥事件,故中奖的概率为0.1+0.1=0.2. 2.(多选题)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为不合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力,则下列结论正确的是() 答案ACD解析将5杯饮料编号为1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4,5表示B饮料,则从5杯饮料中选出3杯的样本点为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共有10个.令D表示“此人被评为优秀”的事件,E表示“此人被评为良好”的事件,F表示“此人被评为不合格”的事件,G表示“此人被评为良好及以上”的事件,则事件D含(1,2,3),只有1个样本点,事件E含(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,3,5),共6个样本点.故 3.据统计,在某银行的一个营业窗口等候的人数及其相应的概率如下:排队人数01234≥5概率0.050.140.350.30.10.06则至多有2人等候排队的概率是,至少有3人等候排队的概率是.答案0.540.46解析记A为“至多有2人等候排队”,则P(A)=0.05+0.14+0.35=0.54,B为“至少有3人等候排队”,则P(B)=0.3+0.1+0.06=0.46. 4.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组,具体情况如图所示.(1)随机选取1个成员,他至少参加2个小组的概率是多少?(2)随机选取1个成员,他参加不超过2个小组的概率是多少? 解(1)从图可以看出,3个课外兴趣小组的总人数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”,则表示“选取的成员至少参加2个小组”,于是, 本课结束