第八章1走近数学建模2数学建模的主要步骤3数学建模活动的主要过程
【内容概述】数学建模活动是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型,最终解决实际问题.数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动.
【数学建模】数学建模的基本过程如下:
数学建模活动是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程.具体表现为:发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主探索、合作研究论证数学结论.
【建模案例】测量学校内、外建筑物的高度[目的]运用所学知识解决实际测量高度问题,体验数学建模活动的完整过程.组织学生通过分组、合作等形式,完成选题、开题、做题、结题四个环节.[情境]给出下面的测量任务:(1)测量本校的一座教学楼的高度;(2)测量本校的旗杆的高度;
(3)测量学校院墙外的一座不可及,但在学校操场上可以看得见的物体的高度.可以每2~3个学生组成一个测量小组,以小组为单位完成,并填写测量报告表.测量课题报告表项目名称:完成时间:1.成员与分工姓名分工2.测量对象例如,某小组选择的测量对象是:旗杆、教学楼、校外的大厦.3.测量方法(请说明测量原理、测量工具、创新点等)4.测量数据、计算过程或结果(可以另外附图或附页)5.研究结果(包括误差分析)6.简述工作感受
[活动过程]教师可以对学生的工作流程提出如下要求和建议:(1)成立项目小组,确定工作目标,准备测量工具;(2)小组成员查阅有关资料,进行讨论交流,寻求测量效率高的方法,设计测量方案(最好设计两套测量方案);(3)分工合作,明确责任.例如,测量、记录数据、计算求解、撰写报告的分工等;(4)撰写报告,讨论交流.可以用照片、模型、PPT等形式展现获得的成果.
根据上述要求,每个小组要完成以下工作:(1)选题(2)开题可以在课堂上组织开题交流,让每一个项目小组陈述初步测量方案,教师和其他同学可以提出质疑.在讨论的基础上,项目小组最终形成各自的测量方案.讨论的目的是让学生仔细想清楚测量过程中将使用的数学模型,这样可以减少实践过程中的盲目性,培养学生良好的思维习惯;同时可以让学生意识到,看似简单的问题,也有许多认真思考、认真对待的东西,促进科学精神的形成.
(3)做题依据小组的测量方案实施测量.尽量安排各个小组在同一时间进行测量,这样有利于教师的现场观察和管理.老师需要提醒学生:要有分工、合作、责任落实到个人.在测量过程中,老师要认真巡视,记录那些态度认真、合作默契、方法恰当的测量小组和个人,供讲评时使用.特别要注意观察和发现测量中出现的问题,避免因测量方法不合理产生较大误差,当学生出现类似问题时,教师要把问题看做极好的教育契机,启发学生分析原因,引导他们发现出问题的原因,寻求解决问题的办法.
(4)结题在每一位学生都完成了“测量报告”后,可以安排一次交流讲评活动.遴选的交流报告最好有鲜明的特点,如测量结果准确,过程完整清晰,方法有创意,误差处理得当,报告书写规范等;或者测量的结果出现明显误差,使用的方法不当.交流讲评往往是数学建模活动中最为重要的环节,可以使学生在这一过程中相互借鉴,共同提高.
[建立模型]测量不可及“理想大厦”的方法1.两次测角法(1)测量并记录测量工具距离地面hm;(2)用大量角器,将一边对准大厦的顶部,计算并记录仰角α;(3)后退am,重复(2)中的操作,计算并记录仰角β;
其中α,β,a,h如图所示.两次测角法示意图
2.镜面反射法(1)将镜子(平面镜)置于平地上,人后退至从镜中能够看到房顶的位置,测量人与镜子的距离;(2)将镜子后移am,重复(1)中的操作;
其中a1,a2是人与镜子的距离,a是两次观测时镜面之间的距离,h是人的“眼高”,如图所示.根据光的反射原理,利用相似三角形的性质联立方程组,可以得到这个公式.镜面反射法示意图
[检验结果]记录实际测量数据并计算结果,测量误差简要分析.(1)两次测角法实际测量数据:次数第一次第二次仰角67°52°后退距离为25m,人的“眼高”为1.5m,计算可得理想大厦的高度约为71.5m,结果与期望值(70m~80m)相差不大.误差的原因是铅笔在纸板上画出度数时不够精确.减小误差的方法是几个人分别测量高度及仰角,再求平均值,误差就能更小.
(2)镜面反射法实际测量数据:次数第一次第二次人与镜子的距离3.84m3.91m镜子的相对距离10m,人的“眼高”为1.52m.计算可得理想大厦的高度约为217m,结果与期望值相差较大.产生误差有以下几点原因:镜面放置不能保持水平;两次放镜子的相对距离太短,容易造成误差;人眼看镜内物像时,两次不一定都看准镜面上的同一个点;人体不一定在两次测量时保证高度不变.综上所述,要做到没有误差很难,但可以通过某些方式使误差更小,我们准备用更多的测量方法找出理想的结果.
对上面的测量报告,教师和同学给出评价.例如,对测量方法,教师和同学评价均为“优”,因为对不可及的测量对象选取了两种可行的测量方法;对测量结果,教师评价为“良”,同学评价为“中”,因为两种方法得到的结果相差较大.对测量结果的评价,教师和同学产生差异的原因是教师对测量过程的部分项目实施加分,包括对自制测量仰角的工具等因素作了误差分析;同学则进一步分析产生误差的主要原因,包括:(1)测量工具问题.两次测角法的同学,自制量角工具比较粗糙,角度的刻度误差较大;镜面反射法的同学,选用的镜子尺寸太大,造成镜间距测量有较大误差.(2)间距差的问题.这是一个普遍的问题.间距差a的值是测量者自己选定的,因为没有较长的卷尺
测量距离,有的同学甚至选间距差a是1m.由于间距太小,两次测量的角度差或者人与镜的距离差太小,最终导致计算结果产生巨大误差.当学生意识到了这个问题后,他们利用运动场100m跑道的自然长度作为间距差a,使得测量精度得到较大提高.(3)不少学生用自己的身高代替“眼高”,反映了学生没有很好地理解测量过程中的“眼高”应当是测量的高度.在结题交流过程中,教师通过测量的现场照片,引导学生发现问题,让学生分析测量误差产生的原因.学生们在活动中意识到,书本知识和实践能力的联系与转化是有效的学习方式.
测量现场的照片和观察说明:照片说明左图:测量角的工具(量角器)太小,造成仰角的测量误差很大.右上图:用腕尺法测量时,腕尺应与地面垂直,手臂水平,否则就没有相似的直角三角形.右下图:用镜子反射法时,要保持镜面水平,否则入射三角形和反射三角形就不相似
照片说明测量仰角的工具:把一个量角器放在复印机上放大4倍复印,在中心处绑上一个铅垂,这样测量视线和铅垂线之间的夹角可以在图上直接读出,这个角是待测仰角的余角测量间距差a的工具:用自行车来测距离,解决了皮尺长度不够的问题
本课结束
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