第七章1.1随机现象1.2样本空间1.3随机事件1.4随机事件的运算
课标要求1.了解随机现象、样本点和样本空间的概念.2.理解随机事件的概念,在实际问题中,能正确地求出事件包含的样本点的个数,并会写出相应的样本空间.3.理解事件的关系与运算,并会简单应用.4.理解互斥事件与对立事件的概念及二者之间的关系.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1现象的相关概念1.确定性现象:在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象.2.随机现象:在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象.名师点睛随机现象的两个特点(1)结果至少有两种;(2)事先并不知道会出现哪一种结果.
过关自诊以下现象是随机现象的是()A.过了冬天就是春天B.物体只在重力作用下自由下落C.不共线的三点确定一个平面D.下一届奥运会中国获得30枚金牌答案D解析A,B,C均是确定性现象,D是随机现象.
知识点2样本空间1.试验:在概率与统计中,把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,一般用E表示,把观察结果或实验结果称为试验结果.2.样本空间:一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.3.样本点:样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.4.有限样本空间:如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)如果试验E的样本空间中只含有一个样本点,则它是有限样本空间.()(2)样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω是一个事件.()(3)空集⌀不含任何样本点,因此空集⌀不是一个事件.()√√×
2.同一试验E的样本点与样本空间是什么关系?3.连续抛掷2枚硬币,观察落地后这2枚硬币出现正面还是反面.(1)写出这个试验的样本空间;(2)求这个试验的样本点的总数.提示样本空间是集合,样本点是样本空间里的元素.解(1)试验的样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}.(2)样本点的总数是4.
知识点3随机事件1.随机事件:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件.常用A,B,C等表示.2.必然事件:样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.3.不可能事件:空集⌀也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称⌀为不可能事件.名师点睛应注意事件的结果是相对于条件而言的,所以必须明确何为事件发生的条件,何为此条件下产生的结果.
过关自诊在下列事件中,哪些是必然事件?哪些是不可能事件?(1)如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;(2)没有水分,种子发芽;(3)在标准大气压下,水在温度达到50℃时沸腾.提示由实数运算性质知(1)恒成立,故(1)为必然事件.没有水分,种子不会发芽,在标准大气压下,水在温度达到50℃时不沸腾,故(2)(3)是不可能事件.
知识点4随机事件的运算1.交事件与并事件名称定义表示法图示交事件(或积事件)一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件,称为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)并事件(或和事件)一般地,由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生或B发生,或A,B都发生)所构成的事件,称为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)
2.互斥事件与对立事件互斥事件定义一般地,不能同时发生的两个事件A与B(A∩B=⌀)称为互斥事件符号A∩B=⌀(或AB=⌀)图示注意事项例如,在掷骰子试验中,记C1={出现1点},C2={出现2点},则C1与C2互斥
对立事件定义若A∩B=⌀,且A∪B=Ω,则称事件A与事件B互为对立事件图示注意事项A的对立事件一般记作
名师点睛事件运算的性质(1)A∪B=B∪A.(2)并事件包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A,B都发生.即A∪B表示事件A,B至少有一个发生.(3)A∩B或AB表示事件A与事件B同时发生.
过关自诊1.“事件A与B至少有一个发生”的含义是什么?2.互斥事件与对立事件之间有什么关系?提示①事件A发生事件B不发生;②事件A不发生事件B发生;③事件A和事件B同时发生.提示(1)根据对立事件的概念易知,若两个事件对立,则这两个事件是互斥事件;反之,若两个事件是互斥事件,则这两个事件未必是对立事件.(2)对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B对立,则A与B互斥,而且A∪B是必然事件.
重难探究•能力素养全提升
探究点一样本点与样本空间【例1】同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(1)写出这个试验的样本空间;(2)求这个试验的样本点的总数;(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点?解(1)试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.(2)样本点的总数是8.(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
规律方法确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件;(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
变式探究同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面,写出这个试验中“恰有一枚正面向上”这一事件包含的样本点.解“恰有一枚正面向上”这一事件包含3个样本点,分别是:(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正).
探究点二随机事件的概念及分类【例2】以下的随机事件中不是必然事件的是()A.标准大气压下,水加热到100℃,必会沸腾B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×bC.走到十字路口,遇到红灯D.三角形内角和为180°答案C解析在A中,标准大气压下,水加热到100℃,必会沸腾是必然事件,故A不符合题意;在B中,长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b是必然事件,故B不符合题意;在C中,走到十字路口,遇到红灯是随机事件但不是必然事件,故C符合题意;在D中,三角形内角和为180°是必然事件,故D不符合题意.
规律方法1.要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件,要从定义出发.2.必然事件和不可能事件不具有随机性,但为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形,具有随机性的和不具有随机性的事件都可以理论上认为是随机事件.
变式训练1从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是()A.3个都是篮球B.至少有1个是排球C.3个都是排球D.至少有1个是篮球答案C解析根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.
探究点三互斥事件与对立事件的判定【例3】某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
解从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生、2名女生、1男1女.(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
规律方法互斥事件和对立事件的判定方法利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有样本点,看它们能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
变式训练2把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对答案C解析“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但分得红牌的还可能是丙或丁,所以不是对立事件.故选C.
探究点四事件的运算角度1事件间的运算【例4】连续抛掷两枚骰子,观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}.(1)用样本点表示事件C∩D,A∪B;(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系?
解由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.(1)C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.(2)E=B∪C.
规律方法事件间的运算方法1.利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.2.利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
变式训练3盒子里有6个红球、4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?解(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球,故C∩A=A.
角度2事件运算的综合问题【例5】抛掷编号为1,2的两枚骰子,记“1号骰子出现2点”为事件A,“2号骰子出现3点”为事件B,分别判断下列两对事件是否为互斥事件:(1)事件A与事件AB;(2)事件B与事件A.解由题意得,事件A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},事件B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}.(1)事件AB={(2,3)},所以A∩(AB)={(2,3)}≠⌀,所以事件A与事件AB不是互斥事件.
规律方法事件运算应注意的两个问题(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较复杂的判断事件之间互斥关系的题目中,要严格按照定义来推理.
变式训练4设A,B,C为三个事件,下列表述不正确的是()答案B
本节要点归纳1.知识清单:(1)随机事件、必然事件、不可能事件的概念;(2)实际问题中样本空间及样本点的求法;(3)随机事件的含义,随机事件的样本空间的表示;(4)交事件与并事件;(5)互斥事件与对立事件.2.方法归纳:列举法、Venn图法.3.常见误区:因未按照一定的顺序列举样本点,导致样本点重复或遗漏;未弄清事件之间的关系,导致互斥、对立事件判断错误.
学以致用•随堂检测全达标
1.下列现象:①当x是实数时,x-|x|=2;②某班一次数学测试,及格率低于75%;③从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团是偶数;④体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机现象的是()A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④答案C解析由随机现象的定义知②③④正确.
2.从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,则必然事件是()A.3件都是正品B.至少有1件次品C.3件都是次品D.至少有1件正品
答案D解析从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,对于A,3件都是正品不是必然事件,A错误;对于B,至少有1件次品不是必然事件,B错误;对于C,3件都是次品是不可能事件,C错误;对于D,至少有1件正品是必然事件,D正确.故选D.
3.已知事件M“3粒种子全部发芽”,事件N“3粒种子都不发芽”,那么事件M和N是()A.不可能事件B.不是互斥事件C.互斥但不对立事件D.对立事件答案C解析事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生,故事件M和事件N互斥,而事件M“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都发芽”,有可能1个不发芽,也有可能2个不发芽,也有可能3个不发芽,故事件M和事件N不对立,故事件M和事件N互斥但不对立.故选C.
4.为了丰富学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组,小明要选报其中的2个,则包含的样本点共有个.答案3解析由题意可得,包含的样本点有“数学与计算机”“数学与航空模型”“计算机与航空模型”,共3个.
5.打靶三次,事件Ai表示“击中i次”,i=0,1,2,3,则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为.答案A1∪A2∪A3(或A1+A2+A3)解析因为A0,A1,A2,A3彼此互斥,“至少有一次击中”是击中一次A1,击中二次A2和击中三次A3这三个事件的并事件,应表示为A1∪A2∪A3(或A1+A2+A3).
本课结束
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