第六章4.1样本的数字特征4.2分层随机抽样的均值与方差4.3百分位数
课标要求1.会求样本的平均数、中位数、众数、百分位数.2.会求样本的极差、标准差与方差.3.通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数据分析的核心素养.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1样本的数字特征1.众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数刻画了一组数据的集中趋势.(1)众数一组数据中,出现次数最多的数据就是众数.若有两个或几个数据出现的次数相等且都最多,则这些数都是这组数据的众数;若一组数据中,每个数据出现的次数都一样,则这组数据没有众数.
(2)中位数一般地,将一组数据按从小到大的顺序排列后,“中间”的那个数据为这组数据的中位数.当数据有奇数个时,位于最中间位置的数就是中位数;当数据有偶数个时,位于最中间的两个数的平均数就是中位数.(3)平均数一组数据的平均值,数据x1,x2,…,xn的平均数为=.
名师点睛众数、中位数、平均数的比较名称优点缺点众数(1)体现了样本数据的最大集中点;(2)容易计算(1)它只能表达样本数据中很少的一部分信息;(2)无法客观地反映总体的特征中位数(1)不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响;(2)容易计算,便于利用中间数据的信息对极端值不敏感平均数反映出更多的关于样本数据全体的信息任何一个数据的改变都会引起平均数的改变,数据波动越大,对平均数的影响也越大
2.极差、方差、标准差极差、方差、标准差刻画了一组数据的.(1)极差:数据中和的差.(2)方差:设一组数据为x1,x2,x3,…,xn,其平均数为,则方差s2=,其单位是原始观测数据单位的,方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度.(3)标准差①定义:它是方差的算术平方根,s==,其单位与原始数据的单位.②计算方法:先求出方差s2,再求方差的算术平方根,即得标准差s=.离散程度最大值最小值平方相同
名师点睛计算方差、标准差的步骤计算样本数据x1,x2,…,xn的标准差的算法如下:第一步:算出样本数据的平均数;第二步:算出每个样本数据与样本平均数的差xi-(i=1,2,…,n);第三步:算出第二步中xi-(i=1,2,…,n)的平方;第四步:算出第三步中n个平方数的平均数,即为样本方差;第五步:算出第四步中平均数的算术平方根,即为样本标准差.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)一组数据中,有一半的数据不大于中位数,而另一半则不小于中位数,中位数反映了一组数据的中心的情况.()(2)频率分布直方图中,平均数左右两边的面积相等.()(3)如果一组数中每个数都减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变,方差不变.()(4)标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.()√×√×
2.怎样由频率分布直方图估计样本的众数、中位数、平均数?提示(1)在频率分布直方图中,众数是最高的小长方形的中点.(2)在样本中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数,因此,在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应相等.(3)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形的底边中点的横坐标之和.
3.平均数与方差有哪些性质?
知识点2分层随机抽样的均值与方差1.分层随机抽样的平均数(1)定义:一般地,将样本a1,a2,…,am和样本b1,b2,…,bn合并成一个新样本,则这个新样本的平均数为
w1,w2∈[0,1]
2.分层随机抽样的方差
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)样本数据分为两层,其中一层的平均数为96,另一层的平均数为98,则样本数据的平均数为=97.()(2)把一个样本分成两层,由每层数据的平均数和方差就能求整个样本数据的平均数和方差.()××
2.甲、乙两人进行射击比赛,甲射击6次,成绩分别为10,9,8,7,8,6;乙射击4次,成绩分别为9,8,9,10.则甲、乙两人共射击10次的平均成绩和方差分别是多少?
知识点3百分位数1.一般地,当总体是连续变量时,给定一个百分数p∈(0,1),总体的p分位数有这样的特点:总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.2.计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下:第一步,按照从小到大排列原始数据;第二步,计算i=np;第三步,若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p分位数为第j项数据;若i是整数,则p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.取值连续不断,不能一一列举
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)50%分位数就是中位数.()(2)百分位数只能是总体数据中的数.()√×
2.对于考试成绩的统计,如果你的成绩处在95%分位数上,以下说法正确的是()A.你得了95分B.你答对了95%的试题C.至少有95%的参加考试者得到了和你一样的考分或还要低的分数D.你排名在第95名答案C解析95%分位数是指把数据从小到大排序,有至少95%的数据小于或等于这个数,至少5%的数据大于或等于这个数,只有C正确.
3.900,920,920,930,930的20%分位数是.答案910解析因为5×20%=1,所以该组数据的20%分位数是=910.
重难探究•能力素养全提升
探究点一平均数、众数、中位数的求法【例1】在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示.成绩/m1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.(结果精确到0.01)
解在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组数据的众数是1.75.题目中表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是所以这17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75,1.70,1.69.
规律方法中位数、众数、平均数的应用注意事项求中位数的关键是将数据排序,一般按照从小到大的顺序排列.中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响.中位数可能在所给数据中,也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述数据的集中趋势确定众数的关键是统计各数据出现的频数,频数最大的数据就是众数.当一组数据中有不少数据多次重复出现时,众数往往更能反映数据的集中趋势平均数与每一个样本数据都有关,受个别极端数据(比其他数据大很多或小很多的数据)的影响较大,因此若在数据中存在少量极端数据,平均数对总体估计的可靠性较差,这时往往用众数或中位数去估计总体.有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体
变式训练1(1)16位参加百米赛跑半决赛同学的成绩各不相同,按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后,要判断能否进入决赛,则其他15位同学成绩的下列数据中,能使他得出结论的是()A.平均数B.极差C.中位数D.方差(2)已知一组数据按从小到大排列为-1,0,4,x,6,15,且这组数据的中位数是5,那么该组数据的众数是,平均数是.答案(1)C(2)65
解析(1)判断能否进入决赛,只要判断是不是前8位,所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他,也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可,小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这个成绩就不能进入决赛,这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数.
探究点二方差和标准差的计算及应用【例2】甲、乙两台机床同时加工直径为100cm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,数据为:甲:99,100,98,100,100,103;乙:99,100,102,99,100,100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差;(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
规律方法标准差(方差)的两个作用(1)标准差(方差)越大,数据的离散程度越大;标准差(方差)越小,数据的离散程度越小.(2)在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下,比较方差或标准差以确定稳定性.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同,又,所以乙机床加工零件的质量更稳定.
变式训练2已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差是,则xy=.答案96解析由平均数得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,xy=96.故填96.
探究点三求百分位数【例3】给出下列一组数据:18,19,20,20,21,22,23,31,31,35,求出45%分位数.解因为数据个数为10,而且10×45%=4.5,因此该组数据的45%分位数为21.规律方法计算一组数据的p分位数时,注意区分i=np的值是否为整数.
变式探究求出本例中的80%分位数.解因为10×80%=8,所以该组数据的80%分位数为
本节要点归纳1.知识清单:(1)众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差的意义与计算;(2)样本数据数字特征的应用;(3)分层随机抽样的均值与方差;(4)百分位数.2.方法归纳:数据分析、统计.3.常见误区:未对数据排序导致求中位数错误;方差与标准差计算错误;求百分位数时,未排序导致错误.
学以致用•随堂检测全达标
1.(多选题)下列说法中,正确的是()A.数据2,4,6,8的中位数是4,6B.数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据D.8个数据的平均数为5,另3个数据的平均数为7,则这11个数据的平均数是答案BCD解析数据2,4,6,8的中位数为=5,显然A是错误的,B,C,D都是正确的.
2.若甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和标准差如下表:选手甲乙丙丁平均数8.58.88.88标准差s3.53.52.18.7则参加奥运会的最佳人选应为()A.甲B.乙C.丙D.丁答案C解析从平均数来看,乙、丙的平均值最大,从标准差来看,丙的标准差最小,因此应选择丙参加比赛.
3.已知一组数据:125,121,123,125,127,129,125,128,130,129,126,124,125,127,126.则这组数据的25%分位数和80%分位数分别是()A.125,128B.124,128C.125,129D.125,128.5答案D解析把这15个数据按从小到大排序,可得121,123,124,125,125,125,125,126,126,127,127,128,129,129,130,由25%×15=3.75,80%×15=12,可知数据的25%分位数为第4项数据为125,80%分位数为第12项与第13项数据的平均数,即×(128+129)=128.5.
4.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是.答案2解析由已知,得×[4+2a+(3-a)+5+6]=4,解得a=2.
5.某车间20名工人年龄数据如下表:年龄/岁人数191283293305314323401合计20(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)求这20名工人年龄的方差s2.
解(1)这20名工人年龄的众数为30,年龄的极差为40-19=21.(2)这20名工人年龄的平均数为(19+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+40)÷20=30,所以这20名工人年龄的方差为
本课结束
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