第六章2.2分层随机抽样
课标要求1.理解分层随机抽样的概念.2.掌握分层随机抽样的步骤,会利用分层随机抽样从总体中抽取样本.3.能解决分层随机抽样中的计算问题.4.能综合运用简单随机抽样与分层随机抽样解决相关问题.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1分层随机抽样1.定义将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层),然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体,这种抽样方法通常叫作分层随机抽样.2.特点(1)分层随机抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成;(2)分成的各层互不重叠;(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例,即,其中n为样本容量,N为总体中的个体数.(4)各层抽样可以按简单随机抽样进行.
名师点睛关于分层随机抽样应注意的问题(1)分层随机抽样中分多少层,如何分层要视具体情况而定,总的原则是每层内样本的差异要小,不同层之间样本的差异要大,且互不重叠.(2)每一层抽取的个体数由样本容量乘以这一层的个体数在总体中所占的比例得到.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)分层随机抽样中每层抽样的可能性是不相等的.()(2)分层随机抽样时,样本是在各层中分别抽取.()×√
2.分层随机抽样中要将总体中层次分明的几部分分层按比例抽取,其中“比例”一词如何理解?3.分层随机抽样有什么优点?提示可从两个方面理解:一是所抽取样本中各层个体数之比与总体中各层个体数之比相同;二是每层所抽个体数与该层个体总数之比等于样本容量与总体中个体数目之比.提示分层随机抽样时,每个个体被抽到的机会是均等的,而且样本更有较好的代表性.
知识点2分层随机抽样的步骤1.分层:根据已经掌握的信息,按某种标准将总体分成互不交叉的若干部分.2.求比:根据总体中的个数N和样本容量n计算比例K=.3.定数:确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni×K(Ni是第i层所包含的个体数),使得各层抽取的样本之和等于样本容量n.4.抽样:按照第三步中确定的应在各层抽取的个体数,分别在各层抽取样本,然后合在一起就得到所需要抽取的容量为n的样本.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小.()(2)分层随机抽样中,个体数量较少的层抽取的样本量较少,这是不公平的.()(3)分层随机抽样中,每层样本的抽取可以用抽签法或随机数法.()××√
2.某单位有职工1500人,其中青年职工700人,中年职工500人,老年职工300人,为了了解该单位职工的身体情况,用分层随机抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为14人,则样本容量为()A.14B.30C.50D.70答案B
3.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为120份,180份,240份,x份,因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为.答案120
重难探究•能力素养全提升
探究点一分层随机抽样的概念【例1】(1)下列问题中,最适合用分层随机抽样抽取样本的是()A.从10名同学中抽取3人参加座谈会B.一次数学竞赛中,某班有10人在110分以上,40人在90~100分,12人低于90分,现从中抽取12人了解有关情况C.从某校1000名高中一年级学生中,抽取100名调查上学途中所用时间D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量(2)分层随机抽样将相似的个体归入一类(层),然后每类抽取若干个个体构成样本,所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样,必须()A.每层等可能抽样B.每层可以不等可能抽样C.所有层按同一抽样比例等可能抽样D.所有层抽取的个体数量相同
答案(1)B(2)C解析(1)A中总体的每个个体无明显差异且个数较少,适合用简单随机抽样;C和D中总体个体无明显差异且个数较多,不适合用分层随机抽样;B中总体个体差异明显,适合用分层随机抽样.(2)保证每个个体等可能的被抽取是简单随机抽样与分层随机抽样的共同特征,为了保证这一点,分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比例等可能抽取.
规律方法1.使用分层随机抽样的前提分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层,层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小.2.使用分层随机抽样应遵循的两个原则(1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则;(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于样本容量与总体中个体数的比.
变式训练1某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是.答案分层随机抽样解析由于被抽取的个体属性有明显的差异,因此宜采用分层随机抽样.
探究点二分层随机抽样的方案设计【例2】一个单位有职工500人,其中不到35岁的有125人,35岁至49岁的有280人,50岁及50岁以上的有95人,为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本,职工年龄与这项指标有关,应该怎样抽取?解因为职工年龄与这项指标有关,故采用分层随机抽样.步骤如下:(1)分层.按年龄将职工分成三层:不到35岁的职工;35岁至49岁的职工;50岁及50岁以上的职工.
(3)在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本.(4)综合每层抽样,组成样本.
规律方法应用分层随机抽样的解题策略
变式训练2某工厂有在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人.上级部门为了了解他们对机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施操作.解因机构改革关系到每个人的不同利益,故采用分层随机抽样方法较合适.∴从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人.
副处级以上干部与工人人数都较少,把他们分别按1~10编号和1~20编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人;对一般干部70人进行00,01,…,69编号,然后用随机数法抽取14人.这样便得到了一个容量为20的样本.
探究点三抽样方法的综合应用【例3】选择合适的抽样方法抽样,写出抽样过程.(1)有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取3个;(2)有30个篮球,其中甲厂生产的有21个,乙厂生产的有9个,抽取10个;(3)有甲厂生产的300个篮球,抽取10个.下面给出的是随机数表中的第8行到第12行2748619871644148708628888519162074770111163024042979799196835125537970762694292743995519810685019264460720213920776638173256164058587766317005002593054553707814
解(1)总体个数较小,用简单随机抽样中的抽签法.①将30个篮球编号,编号为00,01,…,29;②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上,揉成小球,制成号签;③把号签放入一个不透明的袋子中,充分搅拌;④从袋子中逐个抽取3个号签,并记录上面的号码;⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本.(2)总体由差异明显的两个层次组成,需选用分层随机抽样.
②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个,乙厂生产的篮球3个,这些篮球便组成了我们要抽取的样本.(3)总体个数较大,样本容量较小,宜用简单随机抽样中的随机数法.①将300个篮球用随机方式编号,编号为001,002,…,300;②在随机数表中随机的确定一个数作为开始.如从第8行第1列的数“2”开始,向右读;③从数“2”向右读,每次读三位,凡不在001~300中的数跳过不读,遇到读到的也跳过不读.依次得到:274,164,207,011,116,297,076,269,068,072,这就是所抽取的10个样本个体的号码.
规律方法抽样方法的选取(1)若总体由差异明显的几个层次组成,则选用分层随机抽样;(2)若总体没有差异明显的层次,则考虑采用简单随机抽样.当总体中个体数较小时宜用抽签法;当总体中个体数较大,样本容量较小时宜用随机数法.
变式训练3下列问题中,采用怎样的抽样方法较为合理?(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查;(2)某学校有160名教职工,其中教师120名,行政人员16名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本.解(1)抽签法,总体中个体数较小,宜用抽签法.(2)分层随机抽样,由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大,用分层随机抽样.
本节要点归纳1.知识清单:(1)分层随机抽样的概念及适用情形;(2)分层随机抽样中的计算问题;(3)分层随机抽样的设计与应用.2.方法归纳:方程思想.3.常见误区:计算错误导致各层抽样数量错误.
学以致用•随堂检测全达标
1.某班有60名学生,其中男生有40人,现将男、女学生用分层随机抽样法抽取12人观看校演讲总决赛,则该班中被抽取观看校演讲总决赛的女生人数为()A.8B.6C.4D.2答案C解析有60名学生,其中男生有40人,则女生20人,男女生人数之比为2∶1,抽取的12人,女生人数为12×=4.故选C.
2.某次娱乐节目中有A,B,C三个方阵,其人数之比为3∶3∶4,现用分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本,方阵A被抽出人数为12人,则此样本容量n为()A.20B.25C.30D.40答案D
3.①教育局督学组到校检查工作,临时需在高三20个班抽两个班听课;②某班一次数学测试中有14人在120分以上,35人在90~119分,7人在90分以下,现从中抽出8人研讨进一步改进教与学;③某班春节聚会,要产生两位“幸运者”.上述三种情况,合适的抽样方法分别为()A.分层随机抽样,分层随机抽样,简单随机抽样B.分层随机抽样,简单随机抽样,分层随机抽样C.简单随机抽样,简单随机抽样,分层随机抽样D.简单随机抽样,分层随机抽样,简单随机抽样
答案D解析①20个班抽两个班用简单随机抽样.②由于学生分成了差异比较大的几层,应用分层随机抽样.③由于总体与样本容量较小,应用简单随机抽样.故选D.
4.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点,公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是、.答案分层随机抽样简单随机抽样解析①对应的总体明显分成互不交叉的四层,即甲、乙、丙、丁四个地区,故用分层随机抽样.②对应的总体容量较少且个体差异较小,故用简单随机抽样.
5.某企业共有3200名职工,其中青、中、老年职工的比例为3∶5∶2.若从所有职工中抽取一个容量为400的样本,则采用哪种抽样方法更合理?青、中、老年职工应分别抽取多少人?解因为总体由差异明显的三部分(青、中、老年)组成,所以采用分层随机抽样的方法更合理.因为青、中、老年职工的比例是3∶5∶2,所以应分别抽取
本课结束
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