北师大版高中数学必修第一册课件5.2 实际问题中的函数模型

第五章2.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题 课标要求1.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.能建立函数模型解决实际问题.3.体会如何借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1实际问题的函数刻画1.在现实世界中,事物之间存在着广泛的联系,当面对的实际问题中存在几个变量,并且它们之间具有依赖关系时,我们往往用函数对其进行刻画.函数刻画的方法可以使用图象,但常见的还是使用解析式.2.函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦被认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质,使问题得到解决.通过一些数据寻求事物规律,往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点,观察这些点的整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象,选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的一般表达式,求出具体的函数解析式,再做必要的检验,基本符合实际,就可以确定这个函数基本反映了事物规律,这种方法称为数据拟合.在自然科学和社会科学中,很多规律、定律都是先通过实验,得到数据,再通过数据拟合得到的. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)某种商品进价为每件360元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.()(2)某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为y=-4x+350.()(3)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.()××√ 2.世界上很多事物间的联系可以用函数刻画,在试图用函数刻画两个变量的联系时,需要关注哪些要点?提示先确定两个变量是谁;再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义;如果满足,就要考虑建立函数关系式. 知识点2数学建模1.定义:用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模.2.过程:如下图所示. 名师点睛常见的函数模型及其特点:(1)一次函数模型:y=kx+b(k≠0),其增长特点是直线式上升(k>0)或下降(k0)或先增大后减小(a0时,y随x的增大而减小(k>0)或y随x的增大而增大(k0,且b≠1,a≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.(5)对数型函数模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(底数a>1,m>0).(6)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0),其增长特点是y随x的增大而增大(n>0,a>0,x>0). 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)当a>1时,不存在实数x0,使ax0500,应付y=30+0.15×(1200-500)=135(元).(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500min,由30+0.15(x-500)=90,解得x=900,所以10月份的上网时间为900min. 规律方法1.在刻画实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.2.分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分段函数的最值问题时应注意分段函数的最大值是各段函数最大值中最大的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中最小的一个. 变式训练4为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价格p(单位:元/件)之间满足关系式:q=该企业职工每人每月工资为1200元,其他经营性费用为每月13200元.(1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价格p为52元/件时,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数;(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款? 解(1)设该企业职工人数为t,依题意p=52时,q=36时,则(52-40)×36×100=1200t+13200,∴t=25.即该企业有25名职工.(2)设每个月的利润为f(p),则f(p)=∵当p=55时,[(-2p+140)(p-40)]max=450,当p=61时,[(-p+82)(p-40)]max=441,∵450>441,∴p=55时,能更早还清贷款, 又(100×450-1200×20-13200)×12=93600,=5,∴当定价为55元时,最早5年后能还清贷款. 探究点五拟合函数模型解决实际问题【例5】某个体经营者把开始六个月试销售A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:投资A种商品金额/万元123456获纯利润/万元0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额/万元123456获纯利润/万元0.250.490.7611.261.51该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润. 解以投资额x为横坐标,纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图①②所示.图①图②观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟,如图①所示.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2(a≠0),再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟,如图②所示.设y=kx+b(k≠0),取点(1,0.25)和(4,1)代入,即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x. 设第七个月投入A,B两种商品的资金分别为x,12-x(单位:万元),则0