北师大版高中数学必修第一册课件4.3 第1课时 对数函数的概念、图象和性质

第四章第1课时 对数函数的概念、图象和性质 课标要求1.通过具体实例,理解对数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象,探索并理解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1对数函数1.对数函数的概念一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中a称为,由定义可知,对数函数具有以下基本性质:①定义域是;②图象过定点.2.两种特殊的对数函数以为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lgx;以为底的对数函数为自然对数函数,记作y=lnx.底数(0,+∞)(1,0)10无理数e 3.反函数对数函数表示为y=logax(a>0,且a≠1),指数函数表示为y=ax(a>0,且a≠1),指数函数y=ax是对数函数y=logax的反函数,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的反函数,即它们互为反函数. 名师点睛1.判断一个函数是对数函数的依据:(1)形式满足y=logax;(2)底数a满足a>0,且a≠1;(3)真数为x,而不是x的函数.2.根据指数式与对数式的关系知,y=logax可化为ay=x,由指数函数的性质,可知在对数函数中,有a>0,且a≠1,x>0,y∈R. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数图象上.()(2)单调函数的反函数与原函数单调性相反.()(3)若一个奇函数存在反函数,则这个反函数也是奇函数.()√×√ 2.下列函数是对数函数的是()A.y=logax+2(a>0,且a≠1,x>0)B.y=log2(x>0)C.y=logx3(x>0,且x≠1)D.y=log6x(x>0)D3.函数y=的反函数是. 知识点2对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质图象和性质a>100时,g(x)=2x+x2.∵g(x)为奇函数,∴g(-1)=-g(1)=-3,g(-2)=-g(2)=-(22+22)=-8.∴g(-1)+g(-2)=-11. 探究点三与对数函数有关的定义域、值域问题【例3】(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.(0,1)D.[0,1](2)已知函数的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是.解析(1)由题意得x2-x>0,解得x>1或x0可得≤x≤,故函数f(x)的定义域为[]. 规律方法定义域问题注意事项(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,偶次根式被开方式大于或等于零等.(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式. 变式探究本例(1)中的函数变为“f(x)=”,结论又如何? 探究点四对数函数的图象【例4】函数y=log2x,y=log5x,y=lgx的图象如图所示.(1)指出三个函数分别对应于哪个图象;(3)从(2)的图中你发现了什么? 解(1)①对应函数y=lgx,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x. 规律方法对数函数图象的变化规律(1)对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即各函数的底数,如图所示.(2)牢记特殊点:对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(1,0),(a,1),. 变式训练3作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.解先作出函数y=lgx的图象(如图①).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).图①图② 最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).图③由图易知函数的定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),函数在区间(1,2]上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增. 探究点五利用对数函数的性质比较大小【例5】比较下列各组中两个值的大小:(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).解(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9loga3.141;当0c解析因为f(x)=log0.2x在定义域内单调递减,且0.2log0.24,即1>a>0>c.同理log26>log22=1,所以b>a>c. 6.已知函数f(x)=log3x.(1)作出这个函数的图象;(2)若f(a)