第四章2.1对数的运算性质2.2换底公式
课标要求1.理解对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值.2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.能用对数的运算性质和换底公式进行一些简单的化简和证明.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1对数的运算性质可以推广到真数为有限多个正因数相乘的情形,即loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk(k≥2,k∈N+)条件a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R性质(1)loga(M·N)=logaM+logaN(2)loga=logaM-logaN(3)logaMb=blogaM
名师点睛1.会用语言准确地叙述运算性质,如loga(M·N)=logaM+logaN叙述为“两个正数乘积的对数等于这两个正数同底的对数之和”或“两个正数同底的对数之和等于这两个正数乘积的对数”.2.熟练掌握对数运算性质的逆向使用:逆向应用对数运算性质,可将几个对数式化为一个对数式,有利于化简求值.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)logaxy=logax+logay(a>0,且a≠1).()(2)log2(-4)2=2log2(-4).()(3)logaxy=logax·logay(a>0,且a≠1).()×××2.若MN>0,运算法则“loga(MN)=logaM+logaN”还成立吗?提示不一定成立.例如对于(-2)×(-3)>0,loga[(-2)×(-3)]≠loga(-2)+loga(-3),因为loga(-2)和loga(-3)没有意义.
知识点2换底公式一般地,若a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1,则logab=.这个结论称为对数的换底公式.名师点睛1.换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明.换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底,要由具体已知的条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)√√√√×
2.(多选题)下列等式正确的是()ABC
重难探究•能力素养全提升
探究点一对数运算性质的应用【例1】计算下列各式的值:
(2)原式=2lg5+2lg2+lg5×(1+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=2+1=3.
规律方法对于底数相同的对数式的化简、求值常用的方法收将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数拆将积(商)的对数拆成对数的和(差).对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg2+lg5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式
变式训练1计算:
探究点二换底公式的应用【例2】计算下列各式的值:(1)log89·log2732;
规律方法1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:
变式训练2计算:(1)log23·log36·log68;(2)(log23+log43)(log32+log274).
探究点三有附加条件的对数求值问题
(2)设ax=by=cz=k(k>0,且k≠1).∵a,b,c是不等于1的正数,∴x=logak,y=logbk,z=logck.即logk(abc)=0.∴abc=1.
规律方法条件求值问题的求解方法带有附加条件的代数式求值问题,需要对已知条件和所求式子进行化简转化,原则上是化为同底的对数,以便利用对数的运算性质.要整体把握对数式的结构特征,灵活运用指数式与对数式互化进行解题.
变式训练3(1)解∵3x=4y=36,∴x=log336,y=log436.
(2)证明设3x=4y=6z=m(m>0,且m≠1),则x=log3m,y=log4m,z=log6m.
探究点四解对数方程【例4】解下列方程:(1)lgx2-lg(x+2)=0;(2)lgx-lg3=2lg5-lg(x-10).所以x1=2,x2=-1.经检验x1=2,x2=-1均为原方程的解.
即x>10.又lgx-lg3=lg25-lg(x-10),解得x=15或x=-5.经检验x=15是原方程的解.
规律方法对数方程的类型与解法(1)logaf(x)=b(f(x)>0,a>0,且a≠1)型,解法为将对数式转化为指数式f(x)=ab,解出x,注意检验.(2)logf(x)n=b(f(x)>0,且f(x)≠1,n>0)型,解法为将对数式化为指数式[f(x)]b=n,解出x,注意检验.(3)形如logaf(x)=logaφ(x)(f(x)>0,且φ(x)>0),解法为转化为f(x)=φ(x)求解,注意检验.(4)形如f(logax)=0(a>0,且a≠1,x>0),解法为换元,令t=logax,转化为关于t的方程f(t)=0,得t=p,再解方程logax=p,得到x=ap,注意检验.
变式训练4解下列方程:(1)log3(x2-10)=1+log3x;(2)lgx+2log(10x)x=2.原方程可化为log3(x2-10)=log33x.所以x2-10=3x,解得x=-2或x=5.检验知,方程的解为x=5.
本节要点归纳1.知识清单:(1)对数运算性质的应用;(2)换底公式的应用;(3)对数方程的求解.2.方法归纳:转化化归.3.常见误区:要注意对数的运算性质的结构形式及公式使用的条件.
学以致用•随堂检测全达标
1.log248-log23=()A.log244B.2C.4D.-2答案C
2.log52·log425等于()A.-1B.C.1D.2答案C
本课结束
微信/支付宝扫码支付