北师大版高中数学必修第一册课件2.4.2 简单幂函数的图象和性质

第二章4.2简单幂函数的图象和性质 课标要求1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.3.能利用幂函数的基本性质解决相关问题. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1幂函数的定义一般地,形如(α为常数)的函数,即是自变量、_______是常数的函数称为幂函数.名师点睛1.幂值前面的系数是1,否则不是幂函数,如函数就不是幂函数.2.幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同.y=xα底数指数 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数f(x)=x2与函数f(x)=8x2都是幂函数.()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.()×√2.在函数①y=,②y=3x2,③y=x2+2x中,是幂函数的为.(填序号)答案①解析函数y==x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α为常数)的形式,所以它不是幂函数. 知识点2幂函数的图象和性质1.常见的五种幂函数的图象任一幂函数在第一象限内必有图象,在第四象限内必无图象 2.幂函数的性质幂函数y=xy=x2y=x3y=x-1定义域RRR(-∞,0)∪(0,+∞)值域RR(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函数______________单调性在R上是在[0,+∞)上,在(-∞,0]上在R上是在[0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上,在(-∞,0)上公共点(1,1)[0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)奇函数偶函数既不是奇函数,也不是偶函数奇函数增函数单调递增单调递减增函数单调递减单调递增 名师点睛幂函数y=xα的上述性质可归纳如下:(1)当α>0时,图象都经过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数单调递增.(2)当α1时,图象越靠近x轴,则幂函数的指数越小,因此与曲线C1,C2,C3,C4相应的α依次为.故选A. 3.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且y=xα为奇函数的所有α的值为.答案1,3解析当幂函数为奇函数时,α=-3,-1,1,3,又函数的定义域为R,所以α=1,3. 重难探究•能力素养全提升 探究点一幂函数的概念【例1】函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值.解根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3,或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.规律方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式. 变式训练1如果幂函数的图象不过原点,求实数m的取值.解由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1,或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2. 探究点二幂函数的图象【例2】已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为()A.c