北师大版高中数学必修第一册课件2.4.1 函数的奇偶性

第二章4.1函数的奇偶性 课标要求1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解奇函数、偶函数图象的特征.3.会判断(或证明)函数的奇偶性. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1奇、偶函数的定义函数奇函数偶函数条件一般地,设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有-x∈A,且f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)结论称函数f(x)为奇函数称函数f(x)为偶函数图象特征图象关于原点对称图象关于y轴对称定义域特征奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性.说明集合A是关于原点对称的奇偶性是函数的整体性质 名师点睛1.判断函数的奇偶性要“二看”(1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意x∈A,-x∈A,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.如f(x)=x2,x∈R是偶函数,但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数,也不是偶函数.(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:①f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数;②f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数;③f(-x)≠±f(x)⇔f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;④f(-x)=±f(x)⇔f(x)既是奇函数,也是偶函数. 2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)f[g(x)]偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定奇偶性奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数注意:上述表格中不考虑f(x)±g(x)=0.f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数.()(2)若f(x)是偶函数,则它的定义域关于原点对称.()(3)若f(-2)=f(2),则f(x)(x∈R)是偶函数.()(4)若f(x)(x∈R)是偶函数,则f(-2)=f(2).()(5)若f(2)≠f(-2),则f(x)(x∈R)不是偶函数.()×√×√√ 2.已知函数f(x)是奇函数,定义域为D,若0∈D,f(0)是否为定值?提示为定值.∵f(x)为奇函数,∴对任意x∈D,f(-x)=-f(x),又0∈D,∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,故f(0)为定值. 知识点2函数奇偶性与单调性的关系1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数. 名师点睛1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性.2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这将研究其单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若f(x)为奇函数且在[a,b]上有最大值,则f(x)在[-b,-a]上有最小值.()(2)函数f(x)为偶函数且在[1,2]上为增函数,则f(x)在[-2,-1]上也是增函数.()(3)f(x)为偶函数且在[2,+∞)上为增函数,则f(-2)0B.f(-3)-f(-2)0D.f(-2)+f(-5)f(-1),f(-3)>f(-2),∴f(4)>f(-1),∴f(4)-f(-1)>0,f(-3)-f(-2)>0,故C正确,B错误.又无法确定f(3),f(4),f(-2),f(-5)的正负.故选C. 3.若奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有()答案B因为f(x)是奇函数, 重难探究•能力素养全提升 探究点一判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性: 解(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,且对任意的x∈R,有f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),故f(x)是奇函数.函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(1)=f(-1)=0,∴f(x)既是奇函数,也是偶函数. (4)函数的定义域关于原点对称.当x>0时,-x0时,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.解(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)当x0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),即f(0)=0. 规律方法已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,-x∈(a,b),f(x)=-f(-x)=-φ(-x);若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,-x∈(a,b),f(x)=f(-x)=φ(-x).提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉. 变式探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.解当x0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为 探究点三函数奇偶性与单调性的综合应用角度1比较函数值的大小【例3】已知偶函数f(x)的定义域为R,f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是()A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)