第二章2.1函数概念
课标要求1.在实际问题中找出变量之间的对应关系,深刻理解函数的概念.2.会用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.3.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.4.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1函数1.变量观点的定义如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
2.集合语言的定义函数的概念给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数缺一不可函数的记法y=f(x),x∈A定义域集合A称为函数的定义域,x称为自变量值域与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域注意“{f(x)|x∈A}⊆B”建立对应关系f的基础唯一确定
名师点睛1.A,B都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的函数不存在.2.函数定义中强调“三性”,任意性、存在性、唯一性.即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在集合B中都有(存在性)唯一(唯一性)确定的元素y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.3.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,不能认为“y等于f与x的乘积”,应理解为:x是自变量,f是对应关系(可以是解析式、图象、表格,也可以是文字描述).4.函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关,也可以用g,F,H等表示;同样,自变量x也可以用t,m,n等表示.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)人的身高和体重之间是函数关系.()(2)函数的定义域和值域一定是无限集合.()(3)在函数的定义中,集合B是函数的值域.()×××2.某人坐摩天轮一圈用时8分钟.摩天轮匀速转动,若把摩天轮的转动时间t当作自变量,他的海拔高度h为因变量,则每取一个t值,有几个h值与之对应?提示每取一个t值,有唯一一个h值与之对应.
知识点2同一个函数由函数定义知,由于函数的值域由函数的定义域和对应关系来确定,这样确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应关系.因此,定义域和对应关系为“y是x的函数”的两个基本条件,缺一不可.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
名师点睛自变量和因变量用什么字母表示与函数无关,不影响两个函数的关系.两个函数的关系是通过检验两个函数的定义域和对应关系是否相同来确定的.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数,这就是说:(1)定义域不同,两个函数也就不同;(2)对应关系不同,两个函数也是不同的.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)y=x+1与y=t+1不是同一个函数.()(2)f(x)=()2与g(x)=x是同一个函数.()(3)y=f(x),x∈R与y=f(x+1),x∈R可能是同一个函数.()××√
2.如果两个函数的定义域和值域分别相同,这两个函数一定是同一个函数吗?提示不一定是同一个函数.因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系.如函数y=2x和函数y=-3x+1,它们的定义域和值域都是R,但显然不是同一个函数.
重难探究•能力素养全提升
探究点一函数关系的判断【例1】(1)设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A.0个B.1个C.2个D.3个(2)已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={x|0≤x≤4},则下列对应关系中,不能看作是从A到B的函数关系的是()
答案(1)B(2)D解析(1)①错误,当x=2时,在N中无元素与之对应,不满足任意性.②正确.③错误,当x=2时,对应元素y=3∉N,不满足存在性.④错误,当x=1时,在N中有两个元素与之对应,不满足唯一性.(2)根据函数的定义,对于D,在集合A中的部分元素,集合B中没有元素与它对应,故不正确.
规律方法1.根据图形判断对应是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l;(2)在定义域内平行移动直线l;(3)若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.2.判断一个对应是否为函数的方法
变式训练1(1)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是()
(2)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},其中能构成从M到N的函数的是()A.y=x2B.y=x+1C.y=x-1D.y=|x|答案(1)B(2)D解析(1)A中的定义域不是[-2,2],C中图形不满足唯一性,D中的值域不是[0,2].故选B.(2)只有y=|x|是符合题意的对应关系.故选D.
探究点二求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域:解得x
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