苏教版高中数学必修第一册课件5.4 函数的奇偶性

第5章5.4函数的奇偶性 课标要求1.理解奇函数、偶函数的定义;2.了解奇函数、偶函数图象的特征;3.掌握判断函数奇偶性的方法;4.能利用奇偶性求对称区间上的解析式及判断单调性. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点函数的奇偶性奇偶性是函数的整体性质,看整体图象是否具有对称性奇偶性偶函数奇函数条件设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A,都有-x∈A结论图象特点关于对称关于对称f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y轴原点 名师点睛1.要特别注意定义中的“任意”两个字,“任意”是指对于定义域中的所有互为相反数的自变量,它们的函数值全部互为相反数或相等.2.奇偶性是函数在整个定义域内的性质,仅在定义域的一个真子集中讨论函数的奇偶性是没有意义的.3.若奇函数y=f(x)的定义域内包括0,则f(0)=0.4.重要结论:对于函数f(x),若满足(1)f(a-x)=f(a+x),则其图象的对称轴为直线x=a;(2)若f(a-x)=-f(a+x),则其图象的对称中心为(a,0). 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)对于定义域为R的函数f(x),若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数.()(2)函数f(x)=x2,x∈[0,+∞)是偶函数.()(3)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.()2.具有奇偶性的函数,其定义域有何特点?×××提示定义域关于原点对称. 重难探究•能力素养全提升 探究点一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3+x; 解(1)函数的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(4)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.于是有f(-x)=-f(x).所以f(x)为奇函数. 规律方法判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法: (2)图象法: 变式训练1下列函数是偶函数的有.(填序号)答案②③解析对于①,f(-x)=-x3=-f(x),则为奇函数;对于②,f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),则为偶函数;对于③,定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 对于⑤,定义域为[-1,2],不关于原点对称,不具有奇偶性,则既不是奇函数又不是偶函数. 探究点二利用函数的奇偶性求值或求参数C.1D.无法确定(2)已知f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=. 答案(1)B(2)7解析(1)由题意可知2b-5+2b-3=0,即b=2.又f(x)是奇函数,故f(-x)+f(x)=0,∴2ax2+2c=0对任意x都成立,则a=c=0,(2)令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,则g(x)是奇函数,∴f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2,又f(-3)=-3,∴g(3)=5.又f(3)=g(3)+2,∴f(3)=5+2=7. 规律方法利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解. 变式探究1把本例(1)的条件改为“f(x)=ax2+bx+b+1是定义在[a-1,2a]上的偶函数”,求f的值. 变式探究2把本例(2)的条件“f(-3)=-3”换为“f(d)=10”,求f(-d)的值.解令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,易知g(x)为奇函数,∴f(d)=g(d)+2=10,即g(d)=8.∴f(-d)=g(-d)+2=-g(d)+2=-8+2=-6. 变式训练2已知定义在R上的偶函数f(x)满足:当x∈[0,+∞)时,答案1解析∵f(-2)=f(2)=0,∴f(f(-2))=f(0)=1. 探究点三函数奇偶性的应用角度1利用奇偶性求解析式【例3】(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式.(2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式. 解(1)设x0,∴f(-x)=-(-x)+1=x+1.又函数f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(-x)=-f(x)=x+1,∴当x0”改为“x≥0”,再求f(x)的解析式.解设x0,则f(-x)=x+1.又f(-x)=f(x),所以当x