苏教版高中数学必修第一册课件3.2.2 基本不等式的应用

第3章3.2.2基本不等式的应用 课标要求1.熟练掌握基本不等式及变形的应用;2.能利用基本不等式求函数和代数式的最大值或最小值;3.能够运用基本不等式求实际问题中的最大(小)值. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点用基本不等式求最值对于正数a,b,在运用基本不等式时,应注意:(1)和a+b为定值时,积ab有最大值;积ab为定值时,和a+b有最小值. 名师点睛利用基本不等式求最值的注意事项在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可. 二定:积或和为定值.积为定值和有最小值;和为定值积有最大值.为了利用基本不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形.另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次等号成立的字母取值存在且一致. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)x+2y+≥2.()(2)若m2+n2=100,则mn≤50.()2.设正数m,n满足=1,则9m+4n的最小值为.×√答案25 重难探究•能力素养全提升 探究点一利用基本不等式求函数或代数式的最大(小)值【例1】已知x>0,y>0,且=1,求x+y的最小值.即x=4,y=12时,等号成立.故x+y的最小值为16. 规律方法利用基本不等式求函数或代数式的最大(小)值(1)“1”的代换:利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子,将“1”代入后再利用基本不等式求最大(小)值.(2)函数法:若利用基本不等式时等号取不到,则无法利用基本不等式求最大(小)值,则可将要求的式子看成一个函数,利用函数求最大(小)值. 变式探究 变式训练1设x≥2,求函数y=的最小值. 探究点二基本不等式的实际应用【例2】如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36m长网的材料,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?(2)要使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小? 解设每间虎笼长xm,宽ym,则由条件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.设每间虎笼面积为S,则S=xy.故每间虎笼长4.5m,宽3m时,可使面积最大. 当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.故每间虎笼长4.5m,宽3m时,可使面积最大. (2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y,即x=6,y=4时,等号成立.故每间虎笼长6m,宽4m时,可使钢筋网总长最小.故每间虎笼长6m,宽4m时,可使钢筋网总长最小. 规律方法求实际问题中最大(小)值的一般思路理清题意设变量➝建立相应关系式➝根据情境看范围➝数学运算求最值➝结合题意写答案 变式训练2党的十九大报告指出,建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效.通过建造沼气池带来的农村“厕所革命”,对改善农村人居环境等方面,起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”,某农户准备建造一个深为2米、容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3000元,怎样设计沼气池才能使总造价最低?最低总造价是多少元? 解设沼气池底面的一边长为x米,沼气池的总造价为y元,因为沼气池的深为2米,容积为32立方米,所以底面积为16平方米,因为底面的一边长为x米,所 探究点三基本不等式的综合应用答案A 此时x+y取得最小值4.由t≤x+y恒成立,得t≤4,即t的最大值为4. 规律方法利用基本不等式求参数的值或取值范围的一般方法(1)分离参数,转化为求代数式的最值问题.(2)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围. 变式训练3已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则实数m的最大值为()A.10B.9C.8D.7答案C 本节要点归纳1.知识清单:(1)利用基本不等式求函数或代数式的最大(小)值;(2)基本不等式的实际应用;(3)基本不等式的综合应用.2.方法归纳:配凑法、常值代换法.3.常见误区:忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等). 学以致用•随堂检测全达标 1.若a>0,b>0,且a+b=1,则()答案C 2.已知a,b均为正实数,且a+2b=3ab,则2a+b的最小值为()A.3B.4C.6D.9答案A 3.已知a,b∈R,若a2+b2=1,则ab有最值为;若ab=1,则a2+b2有最值为. 4.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为120元/m2,80元/m2,那么水池的最低总造价为元.答案1760解析设池底一边长为xm,总造价为y元.所以ymin=480+320×4=1760.故水池的最低总造价为1760元. 5.(1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值.(2)若a>0,b>0,且a+b=4,求的最小值. 本课结束