第2章2.1命题、定理、定义
课标要求1.理解命题、定理及定义的概念;2.理解命题的构成形式,能将命题改写为“若p,则q”的形式;3.能判断一些简单命题的真假.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1命题的定义与分类1.定义在数学中,我们将可判断的叫作命题.2.分类真假陈述句
名师点睛对命题的理解(1)命题的真假是确定的,一个命题要么为真,要么为假,不能无法判断;(2)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题;(3)数学中要判定一个命题为真命题,需要经过严格的数学证明;要判定一个命题为假命题,只需要举出一个反例即可.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)如果一个语句判断为假,那么它就不是命题.()(2)含有变量的语句也可能是命题.()×√2.“x-1=0”是命题吗?3.“命题一定是陈述句,但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗?提示“x-1=0”不是命题,因为它不能判断真假.提示正确.根据命题的定义,命题一定是陈述句,但陈述句中只有能够判断真假的才是命题.
知识点2命题的形式数学中,许多命题可表示为“如果p,那么q”或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的,q叫作命题的.“若p,则q”是一种重要命题形式,并不是所有命题都能表示成这种形式条件结论
名师点睛1.命题的形式一般为“若p,则q”,但也有些命题不是这种标准形式,我们可以通过分析命题的条件和结论,将命题改写成“若p,则q”的形式.2.在将含有大前提的命题改写为“若p,则q”的形式时,大前提应保持不变,改后仍作为大前提,不要写在条件p中.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)有些命题在形式上可以不是“若p,则q”的形式.()(2)命题“平行四边形对角线互相平分”的条件是“如果一个四边形是平行四边形”.()2.将命题“实数的平方是非负数”改写成“若p,则q”的形式,并指出该命题的条件p与结论q分别是什么?√√解若一个数是实数,则它的平方是非负数.p:一个数是实数,q:它的平方是非负数.
知识点3定理及定义1.定理在数学中,有些已经被的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为定理.2.定义定义是对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.证明为真
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)定理是真命题.()(2)定义既可以作为判定定理,又可以作为性质定理.()2.定义有什么特点?√√提示定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象,并加以区别.
重难探究•能力素养全提升
探究点一命题的判断【例1】(1)下列语句为命题的是()A.x2-1=0B.2+3=8C.你会说英语吗?D.这是一棵大树(2)下列语句为命题的有.①当x>0时,x2>0;②梯形是不是平面图形呢?③22021是一个很大的数;④4是集合{2,3,4}中的元素.答案(1)B(2)①④
解析(1)A中x不确定,x2-1=0的真假无法判断;B中2+3=8是命题,且是假命题;C不是陈述句,故不是命题;D中“大”的标准不确定,无法判断真假,故不是命题.(2)①中x有取值范围,可以判断真假,因此是命题;②是疑问句,不是命题;③是陈述句,但“大”的标准不确定,无法判断真假,因此不是命题;④是陈述句且能判断真假,因此是命题.
规律方法判断一个语句是不是命题的两个关键点(1)命题是可以判断真假的陈述句,因此,疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.(2)对于含变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断其真假,若能判断真假,就是命题;若不能判断真假,就不是命题.
变式训练1下列语句中是命题的为()①空集是任何集合的子集;②若x>1,则x>2;③3比1大吗?④若平面上两条直线不相交,则它们平行;⑤=-2;⑥x>15.A.①②⑥B.①③④C.③④⑤D.①②④⑤答案D解析根据命题的定义可知,③是疑问句,故不是命题;对于⑥,由于x是未知数,故无法判断“x>15”是否成立,因此不是命题;①②④⑤均是命题.
探究点二命题的形式【例2】(1)已知命题:弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧,若把上述命题改为“若p,则q”的形式,则p是,q是.(2)把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.①已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2;②当abc=0时,a=0且b=0且c=0.(1)答案一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧(2)解①已知x,y为正整数,若y=x+1,则y=3,x=2.假命题.②若abc=0,则a=0且b=0且c=0.假命题.
规律方法将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原则[注意]若命题不是以“若p,则q”这种形式给出时,首先要确定这个命题的条件p和结论q,进而改写成“若p,则q”的形式.
变式训练2把下列命题改写成“若p,则q”的形式.(2)同弧所对的圆周角不相等.(2)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等.
探究点三命题的真假判断【例3】(1)(多选题)给定下列命题中真命题有()A.若xy=0,则|x|+|y|=0B.若a>b,则a+c>b+cC.菱形的对角线互相垂直D.若a,b是无理数,则a+b是无理数(2)若“方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根”是真命题,则实数a的取值范围是.答案(1)BC(2)(-∞,0)∪(0,)
解析(1)由xy=0,得x=0或y=0,所以|x|+|y|=0不一定成立,故A是假命题;当a>b时,有a+c>b+c成立,故B是真命题;菱形的对角线一定互相垂直,故C是真命题;
规律方法判断一个命题真假的方法(1)判断一个命题是真命题,可从公理或定理出发,用逻辑推理的方法证明.(2)判断一个命题是假命题,首先分清原命题的条件与结论,然后举反例说明这个命题是假命题,就是所举例子满足命题条件,而不满足结论.
变式训练3(1)下列命题为真命题的是()(2)已知不等式x+3≥0的解集是A,若a∈A是假命题,则a的取值范围是()A.[-3,+∞)B.(-3,+∞)C.(-∞,-3]D.(-∞,-3)
答案(1)A(2)D(2)不等式x+3≥0的解集是{x|x≥-3},即A={x|x≥-3}.若a∈A是假命题,则a的取值范围是(-∞,-3).故选D.
本节要点归纳1.知识清单:(1)命题、定义、定理的概念;(2)命题“若p,则q”的结构形式;(3)判断命题的真假.2.方法归纳:间接法.3.常见误区:命题的条件隐晦时,改写成“若p,则q”的结构形式时容易出错.
学以致用•随堂检测全达标
1.下列语句不是命题的是()A.-3>4B.0.3是整数C.a>3D.4是3的约数答案C解析由题知,选项A,B,D都是可以判断真假的陈述句或式子,均为命题;C选项中a的值不能确定,故无法判断真假.故选C.
2.下列命题是真命题的是()A.空集是任何集合的真子集B.等腰三角形是锐角三角形C.函数y=ax2+x+1是二次函数D.若a∈A∩B,则a∈B答案D解析空集是任何非空集合的真子集,故选项A错误;等腰三角形顶角可以为钝角,故选项B错误;对于函数y=ax2+x+1,当a=0时,该函数是一次函数,故选项C错误;若a∈A∩B,则a是集合A,B的公共元素,所以a∈B,故选项D正确.故选D.
3.(多选题)下列命题是真命题的是()A.所有质数都是奇数C.对任意的x∈N*,都有x2≥x成立D.方程x2+x+2=0有实根答案BC解析因为2是质数,也是偶数,故A为假命题;B为真命题;因为x∈N*,则x2≥x恒成立,故C为真命题;因为Δ=12-8=-7时,mx2-x+1=0无实根.解(1)若一个数是偶数,则这个数能被2整除.真命题.(2)若m>,则mx2-x+1=0无实数根.真命题.
本课结束
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