第7章7.1.1任意角
课标要求1.了解任意角的概念,能区分正角、负角与零角;2.了解象限角的概念;3.理解并掌握终边相同的角.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1任意角1.角的概念一个角可以看作平面内一条绕着它的端点从一个位置_______到另一个位置所成的.2.角的表示如图,射线OA绕端点O,按箭头所示方向旋转到OB便形成角α,OA是角α的始边,OB是角α的终边,O是角的顶点.角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”.射线旋转图形
3.角的分类按旋转方向,角可以分为三类:表示角时要标注旋转方向名称定义图示正角按方向旋转形成的角负角按方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角逆时针顺时针
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)一条射线没有作任何旋转形成的角是零角.()(2)小于90°的角都是锐角.()(3)时间过了20分钟,分针转过的角度为120°.()2.角的概念推广后,分类的标准是什么?√××提示按照角的旋转方向来分正负,没有作任何旋转的为零角.
知识点2象限角以角的顶点为坐标原点,角的始边为正半轴,建立平面直角坐标系.这样,角的(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几.如果角的终边在上,称这个角为.x轴终边象限角坐标轴轴线角
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)第二象限角是钝角.()(2)钝角的终边在第二象限.()(3)第二象限角一定比第一象限角大.()2.“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同?×√×提示锐角是第一象限角,也是小于90°的角,而第一象限角可以是锐角,可以是负角,也可以是大于360°的角;小于90°的角可以是锐角,也可以是零角或负角.
知识点3终边相同的角一般地,与角α终边相同的角的集合为.名师点睛对终边相同的角的理解(1)α为任意角,“k∈Z”这一条件不能漏.(2)k·360°与α中间用“+”连接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α).(3)相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等.{β|β=k·360°+α,k∈Z}
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.()(2)两个角相等则它们的终边相同.()2.终边相同的角一定相等吗?如何表示终边相同的角?√√提示不一定,如0°角和360°角的终边是相同的.β=α+k·360°,k∈Z.
重难探究•能力素养全提升
探究点一任意角的概念【例1】下列结论中正确的是()A.三角形的内角必是第一或第二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.钝角比第三象限角小D.小于180°角是钝角、直角或锐角答案B解析90°角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A不正确;始边相同而终边不同的角一定不相等,故B正确;钝角大于-100°角,而-100°角是第三象限角,故C不正确;0°角小于180°角,但0°角既不是钝角,也不是直角或锐角,故D不正确.
规律方法理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
变式训练1经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是()A.60°,720°B.-60°,-720°C.-30°,-360°D.-60°,720°答案B解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°.
探究点二终边相同的角【例2】写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°到1080°的范围内与75°角终边相同的角.解与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.又k∈Z,所以k=1或k=2.当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°.综上所述,与75°角终边相同且在360°到1080°的范围内的角为435°角和795°角.
规律方法1.写出终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°到360°的范围内相应的角;(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合;(3)根据条件能合并一定合并,使结果简洁.2.终边相同的角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍;(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍;(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.
变式训练2下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是()A.-37°B.143°C.379°D.-143°答案D解析与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°+k·180°,k∈Z,当k=-1时,37°-180°=-143°,故选D.
变式训练3若角2α与240°角的终边相同,则α=()A.120°+k·360°,k∈ZB.120°+k·180°,k∈ZC.240°+k·360°,k∈ZD.240°+k·180°,k∈Z答案B解析角2α与240°角的终边相同,则2α=240°+k·360°,k∈Z,则α=120°+k·180°,k∈Z.故选B.
探究点三象限角及其应用角度1象限角及区域角的表示【例3】(1)(多选题)下列四个角为第二象限角的是()A.-200°B.100°C.220°D.420°(2)如图所示.①写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
(1)答案AB(2)解①终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}.②终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}.
规律方法表示区域角的三个步骤按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界,并确认是否包括边界↓按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°到360°范围内的角α和β,写出最简区间,如:{x|α
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