苏教版高中数学必修第一册课件7.3.1 三角函数的周期性

第7章7.3.1三角函数的周期性 课标要求1.结合具体实例了解周期函数、周期、最小正周期的定义;2.理解函数y=sinx,y=cosx,y=tanx都是周期函数,都存在最小正周期;3.会求函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)及y=Atan(ωx+φ)的周期. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1周期函数1.周期函数的定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.如果存在一个非零的常数T,使得对于任意的x∈A,都有x+T∈A,并且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期.2.最小正周期对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在,那么,这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期.注意是对定义域内所有的x一个最小的正数 名师点睛对周期函数的理解(1)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.(2)并非所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=C(C为常数,x∈R),所有的非零实数T都是它的周期,不存在最小正周期. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(2)周期函数未必有最小正周期.()(3)周期函数的定义域一定是无限集.()2.若函数f(x)的周期为T,则kT,k∈N*也是f(x)的周期吗?为什么?×√√提示是,利用周期函数的定义,f(x)=f(x+T)=f(x+2T)=…=f(x+kT). 知识点2正弦函数、余弦函数、正切函数的周期1.正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期,它们的最小正周期都是.2.正切函数的周期正切函数y=tanx是周期函数,并且最小正周期是.3.函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的周期一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期为.函数y=Atan(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期为.2ππ 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)正弦函数y=sinx的一个周期为4π.()(2)y=cos|x|是偶函数且周期为2π.()(3)y=|tanx|的周期为.()√√×2.正弦函数y=sinx的周期是否唯一?正弦函数y=sinx的周期有哪些?提示正弦函数y=sinx的周期不止一个.±2π,±4π,±6π,…都是正弦函数的周期,事实上,任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期. 重难探究•能力素养全提升 探究点一求三角函数的周期【例1】求下列函数的周期: 规律方法求三角函数最小正周期的方法(1)定义法,即利用周期函数的定义求解.(2)公式法,对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=;形如y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=.(3)观察法,即通过观察函数图象求其周期. 变式训练1答案(1)2π(2)±2 探究点二利用周期求函数值 规律方法1.利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.2.利用函数周期性的定义,将所求转化为可求的x的函数值,从而可解决求值问题.3.证明一个函数是周期函数,一般从定义出发,只需找到非零常数T,使对定义域内任意x都有f(x+T)=f(x)即可. 变式探究1将例2的(2)中“f(x+2)=-”改为“f(x+2)=-f(x)”,求证:函数y=f(x)的一个正周期为4.证明∵f(x+2)=-f(x),∴f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),即f(x+4)=f(x),则该函数的一个正周期为4. 变式探究2将例2的(2)改为:已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x+3)=,且f(2)=,则f(2021)=.答案2 变式训练2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期 本节要点归纳1.知识清单:(1)周期的定义;(2)三角函数的周期;(3)利用周期求函数值.2.方法归纳:化归思想、分类讨论思想.3.常见误区:周期定义的理解. 学以致用•随堂检测全达标 答案D 答案A 3.函数y=5sin的最小正周期为.答案8π4.已知函数f(x)是周期为6的奇函数,且f(-1)=1,则f(-5)=.答案-1解析f(x)的周期为6,则f(-5)=f(-5+6)=f(1)=-f(-1)=-1. 5.若函数f(x)=2cos(ω∈N*)的最小正周期为T,且T∈(1,3),则正整数ω的最大值是.答案6又ω∈N*,则ω=3,4,5,6,所以ω的最大值为6. 本课结束