第10章轴对称、平移与旋转10.5图形的全等
1课堂讲解全等图形全等三角形及其对应元素全等三角形的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升
课间操时间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不用争了，比一下你们俩地上的影子，如果一样长就说明你们一样高.”你知道数学老师为什么能从他们的影长相等就判定他们的身高相同吗？学习了全等图形的有关知识，我们就可以说明其中的道理了.
1知识点全等图形知1－导我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转，这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，位置发生了改变，但变换前后两个图形的对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小并没有改变.
归纳要想知道两个图形的形状和大小是否完全相同，可以通过轴对称、平移和旋转这些图形的变换，把两个图形叠合在一起，观察它们是否完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形(congruentfigures).知1－导
1.定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．要点精析：(1)图形的全等与它们的位置无关，只要满足能够完全重合即可；而完全重合包含两层含义：图形的形状相同，大小相等；(2)全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定全等．2.几种常用全等变换的方式：轴对称、平移、旋转．知1－讲
下图中是全等图形的是__________________________________________.知1－讲例1(1)和(9)、(2)和(3)、(4)和(8)、(11)和(12)
知1－讲导引：上述图形中，(5)和(7)形状相同，但大小不同，(6)和(10)形状不同，故都不是全等图形；(1)和(9)、(2)和(3)、(11)和(12)尽管方向不同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等图形；(4)和(8)都是五角星，大小、形状都相同，是全等图形．
总结知1－讲(1)此题运用定义识别全等图形，确定两个图形全等要符合两个条件：①形状相同，②大小相等；是不是全等图形与位置无关．(2)判断两个图形是否全等还可以通过平移、旋转、翻折等方法把两个图形叠合在一起，看它们能否重合，即用叠合法判断．
1下列各图中，与所给图形全等的是()知1－练
知1－练2下列图形中与已知图形全等的是()
知1－练3下列四组图形中，是全等图形的一组是()
2知识点全等三角形及其对应元素如图中给出了8个图形，你能发现哪两个图形是全等图形吗？动手试试看.知2－导
一个图形经过轴对称、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合.思考：观察图中的两对多边形，每对中的其中一个可以经过怎样的变换和另一个图形重合？知2－导
上面的两对多边形都是全等图形，也称为全等多边形.两个全等的多边形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.知2－讲
如图中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A′B′C′D′E′(这里，符号“≌”表示全等，读作“全等于”).点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′、点E与点E′分别是对应顶点.知2－讲
依据上面的分析，我们知道：全等多边形的对应边相等，对应角相等.这就是全等多边形的性质.实际上，边、角分别对应相等这两个特征足以刻画多边形的全等了.也就是说，在数学上我们可以给出全等多边形如下的定义：边、角分别对应相等的两个多边形称为全等多边形.知2－讲
1.全等三角形的定义：如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等．2.全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，(1)对应顶点：重合的顶点；(2)对应边：重合的边；(3)对应角：重合的角．知2－讲
3.全等三角形的表示法：如图，△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”读作全等于.其中“∽”表示形状相同，“＝”表示大小相等．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．知2－讲
知2－讲4.对应元素的确定方法：(1)字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角，如△CAB≌△FDE，则AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角．(2)图形位置确定法：①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角．(3)图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边(角)是对应边(角)，最小的边(角)是对应边(角)．
5.对应边(或角)与对边(或角)的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的位置关系.对边是与角相对的边，对角是与边相对的角．6.易错警示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写．知2－讲
知2－讲如图，△ACB≌△BDA，AC和BD对应，BC和AD对应，写出其他的对应边及对应角．例2
因为已经知道了两组对应边，所以剩下的一组边是对应边．根据对应边所对的角是对应角，容易发现AC的对角∠CBA和BD的对角∠DAB是对应角，BC的对角∠CAB和AD的对角∠DBA是对应角，剩下的一组角∠ACB和∠BDA是对应角．知2－讲导引：解：其他的对应边是AB和BA；对应角是∠CBA和∠DAB，∠CAB和∠DBA，∠ACB和∠BDA.
总结知2－讲根根据对应边(角)找对应角(边)的方法：对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边．
1如图，△ABC≌△EDC，∠ACB和∠ECD是对应角，BC与DC是对应边，写出其他的对应边及对应角．知2－练
知2－练2如图，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌________，AB的对应边是________，∠BCA的对应角是________________．
知2－练3如图，将△ABC沿BC所在的直线平移到△A′B′C′的位置，则△ABC________△A′B′C′，图中∠A与______，∠B与________，∠ACB与_________是对应角．
3知识点全等三角形的性质知3－导三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等.同样，我们也可以得到全等三角形的定义，从而也得到了判断两个三角形是否全等的准确方法：如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等.
如图所示，△ABC≌△DEF，且∠A=∠D，∠B=∠E.你能指出它们之间其他的对应顶点、对应角和对应边吗？知3－导
知3－讲1.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．要点精析：(1)全等三角形的对应元素相等．其中，对应元素包括：对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等．(2)在应用全等三角形的性质时，要先确定两个条件：①两个三角形全等；②找对应元素．(3)全等三角形的性质是说明线段、角相等的常用方法．
知3－讲2.全等三角形的判定：如果两个三角形的边角分别对应相等，那么这两个三角形全等．3.易错警示：周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等．
知3－讲如图，△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，∠A=80°，∠B=60°，求∠F的度数.例3
知3－讲解：由图形平移的特征，可知与△ABC与△DEF的形状与大小相同，即△ABC≌△DEF.∴∠D=∠A=80°(全等三角形的对应角相等).同理∠DEF=∠B=60°.又∵∠D+∠DEF+∠F=180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠F=180°-∠D-∠DEF=180°-80°-60°=40°.
总结知3－讲(1)全等三角形的性质在几何计算中起着重要作用，当所求线段不是全等三角形的对应边时，可利用等式的性质进行转换，从而找到所求线段与已知线段的关系．(2)本题运用转化思想，通过全等三角形的性质，可把线段AB转化成线段DF，再利用等式的性质可把求线段FB的长转化成求线段AD的长．
1如图，△EFG与△NMH全等，在△EFG中，FG是最长的边，在△NMH中，MH是最长的边，∠F和∠M是对应角，且EF＝2.4cm，FH＝1.9cm，HM＝3.5cm.(1)写出对应相等的边及对应相等的角；(2)求线段NM及线段HG的长度．知3－练
2若△ABC与△DEF全等，点A和点E，点B和点D分别是对应点，则下列结论错误的是()A．BC＝EFB．∠B＝∠DC．∠C＝∠FD．AC＝EF知3－练
3如图，△ABC≌△A′B′C′，则∠C的度数是()A．56°B．51°C．107°D．73°知3－练
找全等三角形的对应元素的方法：(1)在两个全等三角形中最长边对应最长边，最短边对应最短边，最大角对应最大角，最小角对应最小角；(2)对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角；(3)重合的边(角)一般是对应边(角)，公共边(角)一般是对应边(角)，对顶角是对应角．注意：对应边与对边，对应角与对角不同，对应边和对应角是相对两个三角形而言的，是两条边、两个角的关系；而对边与对角则是指一个三角形中的边与角的位置关系．
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