竞赛讲座09－圆基础知识如果没有圆，平面几何将黯然失色．圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系．圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题，“三角形的心”，“几何著名的几何定理”，“共圆、共线、共点”，“直线形”将构成圆的综合问题的基础．本部分着重研究下面几个问题：1．角的相等及其和、差、倍、分；2．线段的相等及其和、差、倍、分；3．二直线的平行、垂直；4．线段的比例式或等积式；5．直线与圆相切；6．竞赛数学中几何命题的等价性．命题分析例1．已知为平面上两个半径不等的⊙和⊙的一个交点，两圆的外公切线分别为，、分别为、的中点，求证：．例2．证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形．例3．延长至，以为直径作半圆，圆心为，是半圆上一点，为锐角．在线段上，在半圆上，∥，且，∥．求证：．例4．求证：若一个圆外切四边形有两条对边相等，则圆心到另外两边的距离相等．例5．设是△中最小的内角，点和将这个三角形的外接圆分成两段弧，是落在不含的那段弧上且不等于与的一个点，线段和的垂直平分线分别交线段于和，直线和相交于．证明：．例6．菱形的内切圆与各边分别切于，在与上分别作⊙切线交于，交于，交于，交于，求证：∥．例7．⊙和⊙与△的三边所在直线都相切，为切点，并且的延长线交于点．求证：直线与垂直．例8．在圆中，两条弦相交于点，为弦上严格在、之间的点．过
的圆在点的切线分别交直线、于．已知，求（用表示）．例9．设点和是△的边上的两点，使得．又设和分别是△、△的内切圆与的切点．求证：．例10．设△满足，，过作△外接圆的切线，交直线于，设关于直线的对称点为，由到所作垂线的垂足为，的中点为，交于点，证明直线为△外接圆的切线．例11．两个圆和被包含在圆内，且分别现圆相切于两个不同的点和．经过的圆心．经过和的两个交点的直线与相交于点和，直线和直线分别与相交于点和．求证：与相切．例12．已知两个半径不相等的⊙和⊙相交于、两点，且⊙、⊙分别与⊙内切于、两点．求证：的充要条件是、、三点共线．例13．在凸四边形中，与不平行，⊙过、且与边相切于点，⊙过、且与边相切于点．⊙和⊙相交于、，求证：平分线段的充要条件是∥．例14．设凸四边形的两条对角线与互相垂直，且两对边与不平行．点为线段与的垂直平分线的交点，且在四边形的内部．求证：、、、四点共圆的充要条件为．训练题1．△内接于⊙，，过、两点⊙的切线交于，为的中点，求证：（1）；（2）．2．已知分别是△外接圆上不包含的弧的中点，分别和、相交于、两点，分别和、相交于、两点，分别和、相交于、两点．求证：的充要条件是△为等边三角形．3．以△的边为直径作半圆，与、分别 交于点和，过、作的垂线，垂足分别为、．线段、交于点．求证：．4．在△中，已知内的旁切圆与相切于，内的旁切圆与相切于，过和的中点和作一直线，求证：直线平分△的周长，且与的平分线平行．
5．在△中，已知，过该三角形的内心作直线平行于交于．在边上取点使得．求证：．6．半圆圆心为，直径为，一直线交半圆于，交于（）．设是△与△的外接圆除点外之另一交点．求证：为直角 ．7．已知，是锐角△的角平分线，，，且．求证：．8．为△的边上任一点，分别为△、△、△的内切圆半径；分别为这三个三角形的旁切圆半径（在内部）．求证：．9．设是△的边上的一个内点，交△外接圆于，、是分别到和的垂足，是直径为的圆．证明：与⊙相切当且仅当．10．若是圆的弦，是的中点，过任意作弦和，连分别交于，则．11．设为△的垂心，为该三角形外接圆上的一点，是高的垂足，并设与都是平行四边形，与交于．证明：∥．12．在△中，的平分线分别交及三角形的外接圆于和，是内切圆圆心．证明：（1）；（2）．
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