初中-数学-说课稿-竞赛讲座 08几何变换

竞赛专题讲座08－几何变换【竞赛知识点拨】一、平移变换1． 定义设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。记为XX’，图形FF‘。2． 主要性质在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。二、轴对称变换1． 定义设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X’，使得X与X‘关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为XX’，图形FF‘。2． 主要性质在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。三、旋转变换1． 定义设α是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点X变到X’，使得OX‘=OX，且∠XOX’=α，则R叫做绕中心O，旋转角为α的旋转变换。记为XX‘，图形FF’。其中α0时，为逆时针方向。2．主要性质在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。四、位似变换 1． 定义设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得=k·，则H叫做以O为位似中心，k为位似比的位似变换。记为XX’，图形FF‘。其中k>0时，X’在射线OX上，此时的位似变换叫做外位似；k2AD。∴PQ+QR+RP>2AD。【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。【例7】以△ABC的边AB、AC为斜边分别向外作等腰直角三角形APB、AQC，M是BC的中点。求证：MP=MQ，MP⊥MQ。【分析】延长BP到E，使PE=BP，延长CQ到F，使QF=CQ，则△BAE、△CAF都是等腰三角形。显然：EB，CF，∴EC=BF，EC⊥BF。而PMEC，MQBF，∴MP=MQ，MP⊥MQ。【例8】已知O是△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°；P是△ABC内任一点，求证：PA+PB+PC≥OA+OB+OC。（O为费马点）【分析】将CC‘，OO’，PP‘，连结OO’、PP‘。则△BOO’、△BPP‘都是正三角形。∴OO’=OB，PP‘=PB。显然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。 由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O，∴A、O、O‘、C’四点共线。∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。【例9】⊙O与△ABC的三边BC、CA、AB分别交于点A1、A2、B1、B2、C1、C2，过上述六点分别作所在边的垂线a1、a2、b1、b2、，设a1、b2、c1三线相交于一点D。求证：a2、b1、c2三线也相交于一点。【分析】∵a1、a2关于圆心O成中心对称，∴a1a2。同理，b1b2，c1c2。∴a1、b2、c1的公共点D在变换R（O，180°）下的像D’也是像a2、b1、c2的公共点，即a2、b1、c2三线也相交于一点。【例10】AD是△ABC的外接圆O的直径，过D作⊙O的切线交BC于P，连结并延长PO分别交AB、AC于M、N。求证：OM=ON。【分析】设OO‘，NN’，而MB，∵M、O、N三点共线，∴B、O‘、N’三点共线，且。取BC中点G，连结OG、O‘G、DG、DB。 ∵∠OGP=∠ODP=90°，∴P、D、G、O四点共圆。∴∠ODG=∠OPG，而由MN∥BN’有∠OPG=∠O‘BG，∴∠ODG=∠O’BG，∴O‘、B、D、G四点共圆。∴∠O’GB=∠O‘DB。而∠O’DB=∠ACB，∴∠O‘GB=∠ACB，O’G∥AC，而G是BC的中点，∴O‘是BN’的中点，O‘B=O’N‘，∴OM=ON。