苏教版高中数学必修第二册课件13.3.2 第1课时 柱、锥、台的体积

第13章第1课时 柱、锥、台的体积 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式,会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧. 基础落实•必备知识全过关 知识点柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高);(2)锥体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高);(3)台体的体积公式V=h(S++S')(S',S为上、下底面面积,h为高).求台体的表面积和体积时,常用“还台为锥”的思想方法 名师点睛棱柱和圆柱都是柱体,棱锥和圆锥都是锥体,棱台和圆台都是台体,它们的体积公式可统一如下:(1)V柱体=Sh(S为底面积,h为柱体高);(2)V锥体=Sh(S为底面积,h为锥体高);(3)V台体=h(S++S')(S',S分别为上、下底面面积,h为台体高). 过关自诊1.底面积相等、高也相等的两个锥体,它们的体积相等吗?提示相等.2.若长方体的长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm,则长方体的体积为()A.27cm3B.60cm3C.64cm3D.125cm3答案B解析V长方体=3×4×5=60(cm3). 重难探究•能力素养全提升 探究点一柱体体积的计算【例1】正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且与该侧面的底边所成的角为45°,则此三棱柱的体积为()答案A 规律方法1.求柱体的体积关键是求其底面面积和高,底面面积利用平面图形面积的求法,常转化为三角形及四边形,高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形,进而求解.2.一个几何体在空间中可以有不同的放置方法,例如三棱柱既可以把底面放在水平面上,也可以将其中的一个侧面放在水平面上,但在求其体积时,一定要分清棱柱真正的底面,放在水平面上的不一定是底面. 变式训练1(1)已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4,则该圆柱的体积为()A.2πB.4πC.8πD.16π(2)已知直三棱柱ABC-A1B1C1,点C到AB的距离为3cm,侧面ABB1A1的面积为8cm2,求直三棱柱的体积. 答案(1)DV圆柱=πr2h=π×(4÷2)2×4=16π.(2)解补上一个相同的直三棱柱ACD-A1C1D1,可以得到一个直四棱柱ABCD-A1B1C1D1. 探究点二锥体体积的计算【例2】(1)若圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则其体积等于.(2)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.①求V1,V2以及V1∶V2;②求点A到平面A1BD的距离d. 规律方法1.锥体的体积公式V=Sh既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱锥,也可以不是正棱锥.2.三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,使得转换后,该三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求,这一方法叫作等积法.3.有些几何体还可以利用分割法或补体法进行求解,无论补体法还是分割法都是要将所给的几何体补成(或分割成)易求解的几何体,体现出间接思维模式和化归的数学思想. 变式探究若例2(2)中的正方体改为长方体,则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化?试证明你的结论. 探究点三台体体积的计算【例3】圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,那么该圆台的表面积和体积分别是多少?(结果中保留π) 解如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180°,所以c=π·SA=2π×10,所以SA=20,同理可得SB=40,所以AB=SB-SA=20,所以S表面积=S侧+S上+S下=π(10+20)×20+π×102+π×202=1100π(cm2).故圆台的表面积为1100πcm2. 规律方法求台体体积的一般方法是求出台体的上、下底面的面积和高,然后套用公式计算求解,要充分利用截面、轴截面、展开图等求出所需要的量,再代入公式计算. 变式训练2体积为52的圆台,一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A.54B.54πC.58D.58π答案A 素养培优转化思想在求几何体的体积中的应用【典例1】如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为()答案A 解析本题直接求解不方便,由于三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积, 【典例2】如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积. 规律方法转化思想是解决数学问题的基本思想,它将未知的问题转化为已知问题、复杂问题转化为简单问题,最终将不易解决的问题转化为已解决的问题.如若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行转化求解. 学以致用•随堂检测全达标 答案C 2.已知高为3的直棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为1的正三角形(如图所示),则三棱锥B'-ABC的体积为()答案D 3.如图,在正方体中,S为平面A1B1C1D1上一点,则四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的()答案B解析由于四棱锥S-ABCD的高与正方体的棱长相等,底面是正方形,根据柱体和锥体的体积公式,得四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的,故选B. 4.圆台的上、下底面半径分别为2,4,母线长为3,则圆台的体积为()答案A 5.如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6cm,高为20cm的圆锥形铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降cm.答案0.6 本课结束